Mouvements plans — Cours Physique Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 5 en Bac STM. Généralisation de la chute libre à deux dimensions : le vecteur accélération est constant, et le mouvement se traite comme deux mouvements rectilignes indépendants. L'obtention de y(x) par élimination du paramètre t s'appuie sur les Mathématiques (coefficient 7).

À l'épreuve

Établir les équations horaires d'un projectile, l'équation de la trajectoire y(x), la date au sommet, la flèche et la portée. Parfois un lancer horizontal (pièce quittant un tapis).

Objectifs d'apprentissage

Justifier l'indépendance des mouvements horizontal et vertical
Établir les équations horaires d'un projectile dans le champ de pesanteur
Obtenir l'équation de la trajectoire y(x) et reconnaître une parabole
Calculer la date au sommet, la flèche et la portée
Traiter le cas particulier d'un lancer horizontal

Notions clés

Indépendance des mouvements

\vec a=\vec g

constant. Projeté :

a_x=0

(mouvement uniforme sur

x

) et

a_y=-g

(uniformément varié sur

y

). Les deux évoluent indépendamment, avec le même paramètre

t

Équations horaires et trajectoire

Lancé de

(0,h_0)

avec

\vec v_0

d'angle

\alpha

x(t)=v_0\cos\alpha\,t

;

y(t)=h_0+v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

. En éliminant

t

y(x)=h_0+x\tan\alpha-\dfrac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}

— une parabole.

Sommet

Au sommet,

v_y=0

t_s=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}

; la flèche est

y(t_s)

. La portée est la valeur de

x

au retour à l'altitude de lancement.

Mouvement d'un solide sur un plan horizontal ou incliné

Un solide de masse

m

glisse sur un plan incliné d'un angle

\alpha

sur l'horizontale. Il subit son poids

\vec P

et la réaction

\vec R

du plan. Sans frottement, la deuxième loi de Newton projetée sur un axe parallèle à la pente (orienté vers le bas) donne

a = g\sin\alpha

: le mouvement est rectiligne uniformément varié ; sur l'axe normal,

R = mg\cos\alpha

. Avec une force de frottement constante

f

opposée au mouvement :

a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}

. Sur un plan horizontal, un solide lancé qui glisse avec frottement décélère (

a = -\dfrac{f}{m}

) ; tiré par une force

\vec F

faisant un angle

\beta

avec l'horizontale, il vérifie

ma = F\cos\beta - f

. Exemple :

\alpha = 30°

sans frottement donne

a = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9\ m\cdot s^{-2}

Erreurs fréquentes

Coupler les deux axes : chaque coordonnée s'obtient de façon autonome, seul t est commun.

Oublier la composante verticale de la vitesse initiale v₀·sin α.

Confondre la flèche (hauteur maximale) et la portée (distance horizontale).

Exemple corrigé

Énoncé

Un projectile est lancé de l'origine (

h_0=0

) avec

v_0=30\ \text{m/s}

\alpha=53^\circ

(

g=10\ \text{m/s}^2

\cos 53^\circ\approx 0{,}6

\sin 53^\circ\approx 0{,}8

). Déterminer les équations horaires, la date au sommet, la flèche et la portée.

Correction

Composantes initiales.

v_{0x}=30\times0{,}6=18\ \text{m/s}

;

v_{0y}=30\times0{,}8=24\ \text{m/s}

Équations horaires.

x(t)=18\,t

;

y(t)=24\,t-5\,t^{2}

Date au sommet.

v_y=24-10\,t=0\Rightarrow t_s=2{,}4\ \text{s}

Flèche.

y(2{,}4)=24\times2{,}4-5\times(2{,}4)^{2}=57{,}6-28{,}8=28{,}8\ \text{m}

Portée.

y=0\Rightarrow t(24-5t)=0\Rightarrow t=4{,}8\ \text{s}

, d'où

x=18\times4{,}8=86{,}4\ \text{m}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

La composante horizontale de la vitesse d'un projectile est constante et vaut

v_{0x}=16\ \text{m/s}

. Quelle distance horizontale a-t-il parcourue au bout de

5{,}0\ \text{s}

Voir la correction

x=v_{0x}\,t=16\times5{,}0=80\ \text{m}

Exercice 2

Moyen

Une pièce quitte horizontalement un tapis roulant de hauteur

h=1{,}25\ \text{m}

avec

v_0=6{,}0\ \text{m/s}

(

g=10\ \text{m/s}^2

). Calculer la durée de chute et la distance au pied du tapis.

Voir la correction

Axe vertical :

h=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}}=0{,}50\ \text{s}

. Axe horizontal :

x=v_0\,t=6{,}0\times0{,}50=3{,}0\ \text{m}

Exercice 3

Difficile

Un projectile est lancé de l'origine avec une vitesse

\vec v_0

d'angle

\alpha

. Établir l'équation de sa trajectoire

y(x)

et montrer qu'il s'agit d'une parabole.

Voir la correction

x=v_0\cos\alpha\,t

on tire

t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}

. En reportant dans

y=v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

y=x\tan\alpha-\dfrac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}

. C'est de la forme

y=ax^{2}+bx

avec

a<0

: une parabole tournée vers le bas.

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Questions fréquentes

Pourquoi les mouvements horizontal et vertical sont-ils indépendants ?

Parce que l'accélération n'a pas de composante horizontale (a_x = 0) : la vitesse horizontale reste constante. Seul le temps relie les deux équations.

Quelle différence entre la flèche et la portée ?

La flèche est la hauteur maximale atteinte (au sommet, v_y = 0). La portée est la distance horizontale parcourue au retour à l'altitude de lancement.

Comment traite-t-on un lancer horizontal ?

C'est le cas α = 0 : la vitesse initiale n'a qu'une composante horizontale. Le mouvement vertical est une chute libre sans vitesse initiale, le mouvement horizontal est uniforme.