Décroissance radioactive — Cours Physique Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 5 en Bac STM. Application physique de la fonction exponentielle et du logarithme (Mathématiques coefficient 7). Le contrôle non destructif par gammagraphie des soudures et des pièces mécaniques repose sur des sources radioactives dont on connaît l'activité et la demi-vie.

À l'épreuve

Établir N(t) = N₀·e^(−λt) à partir de dN/dt = −λN, relier λ et t₁/₂, calculer une activité a = λ·N, exploiter a/a₀ = (1/2)^(t/t₁/₂), équilibrer une équation de désintégration par les lois de Soddy.

Objectifs d'apprentissage

Résoudre dN/dt = −λN et retrouver N(t) = N₀·e^(−λt)
Relier constante radioactive et demi-vie : t₁/₂ = ln2/λ
Définir l'activité a = λ·N et donner son unité (becquerel)
Équilibrer une équation de désintégration α, β⁻, β⁺ avec les lois de Soddy
Exploiter la décroissance pour dater ou dimensionner une source

Notions clés

Loi de décroissance

\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N

, d'où

N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}

\lambda

(s⁻¹) constante radioactive du noyau.

Demi-vie et activité

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

. Activité :

a=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda N=a_0\,e^{-\lambda t}

, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s).

t_{1/2}

est constante pour un noyau donné.

Lois de Soddy

A

Z

se conservent.

\alpha

^{4}_{2}\text{He}

\beta^{-}

^{0}_{-1}e

\beta^{+}

^{0}_{+1}e

. Le noyau fils excité se désexcite en

\gamma

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

La datation par radioactivité

La loi de décroissance

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

permet de dater un échantillon : connaissant le nombre initial (ou l'activité initiale

a_0

) et la valeur mesurée aujourd'hui,

t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_0}{N} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{a_0}{a}

. Le carbone 14 (

t_{1/2} = 5\,730

ans) date les restes d'êtres vivants jusqu'à environ 50 000 ans : à la mort, l'organisme cesse d'échanger du carbone et son

{}^{14}C

décroît. Les couples uranium–plomb ou potassium–argon datent les roches. Exemple : un os dont l'activité en carbone 14 vaut le quart de celle d'un organisme vivant a

t = 2\,t_{1/2} \approx 11\,460

ans.

Erreurs fréquentes

Confondre la constante radioactive λ (s⁻¹) avec une longueur d'onde.

Croire que la demi-vie dépend des conditions physico-chimiques.

Confondre l'activité (en Bq) et le nombre de noyaux N.

Exemple corrigé

Énoncé

Une source contient à

t=0

N_0=4{,}0\times10^{19}

noyaux radioactifs, de demi-vie

t_{1/2}=12\ \text{h}

. Calculer

\lambda

, l'activité initiale

a_0

, puis le nombre de noyaux restants après

36\ \text{h}

Correction

Constante radioactive.

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{12\times3600}=\dfrac{0{,}693}{4{,}32\times10^{4}}\approx 1{,}6\times10^{-5}\ \text{s}^{-1}

Activité initiale.

a_0=\lambda N_0=1{,}6\times10^{-5}\times4{,}0\times10^{19}=6{,}4\times10^{14}\ \text{Bq}

Après 36 h.

36\ \text{h}=3\,t_{1/2}

, donc

N=\dfrac{N_0}{2^{3}}=\dfrac{4{,}0\times10^{19}}{8}=5{,}0\times10^{18}\ \text{noyaux}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un noyau a une demi-vie

t_{1/2}=6{,}0\ \text{jours}

. Quelle fraction de l'échantillon subsiste après

24\ \text{jours}

Voir la correction

24\ \text{jours}=4\,t_{1/2}

, donc

\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}=6{,}25\ \%

Exercice 2

Moyen

L'activité d'une source de contrôle est tombée à

12{,}5\ \%

de sa valeur initiale. Combien de demi-vies se sont écoulées ?

Voir la correction

12{,}5\ \% = \dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}

: 3 demi-vies.

Exercice 3

Difficile

Le cobalt

^{60}_{27}\text{Co}

, utilisé en gammagraphie, se désintègre par émission

\beta^{-}

. Écrire l'équation et identifier le noyau fils

\text{X}

Voir la correction

^{60}_{27}\text{Co}\longrightarrow\ ^{0}_{-1}e+\ ^{A}_{Z}\text{X}

. Conservation :

A=60

Z=27-(-1)=28

. Le noyau fils est le nickel

^{60}_{28}\text{Ni}

(émis dans un état excité, il se désexcite en émettant les photons

\gamma

utilisés pour le contrôle).

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Questions fréquentes

La demi-vie dépend-elle de la température ou de la pression ?

Non. La désintégration est un phénomène nucléaire : la demi-vie d'un noyau donné est une constante, insensible aux conditions extérieures.

Quelle relation entre λ et la demi-vie ?

t₁/₂ = ln2 / λ. Une grande constante radioactive correspond à une désintégration rapide, donc à une demi-vie courte.

Qu'est-ce que l'activité et son unité ?

L'activité a = λ·N est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon, exprimée en becquerels. Elle décroît selon la même loi exponentielle que N.