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Mathématiques · Bac STE · Coefficient 7

Nombres complexes — Cours Maths Bac STE

Les trois formes d'un complexe, module et argument, la formule de Moivre, les racines n-ièmes, et l'usage géométrique : rotations, natures de triangles, lieux.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les nombres complexes sont l'outil du régime sinusoïdal forcé étudié en Sciences de l'Ingénieur (impédances, déphasages).

À l'épreuve

Un exercice en deux temps : calcul (forme exponentielle, résolution d'une équation, racines n-ièmes, Moivre), puis géométrie (nature d'un triangle, écriture complexe d'une rotation, lieu de points).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
  • Calculer module et argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Appliquer la formule de Moivre
  • Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe
  • Interpréter |z − a|, arg((z − b)/(z − a)) et l'écriture d'une rotation

Notions clés

Formes et module-argument

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, r=∣z∣=x2+y2r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}. ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2.

Moivre et racines n-ièmes

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}. Les racines nn-ièmes de a=ρeiφa=\rho e^{i\varphi} sont zk=ρ1/nei(φn+2kπn)z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1.

Interprétation géométrique

∣z−a∣|z-a| = distance AMAM. arg⁡z−bz−a=(AM→,BM→)\arg\dfrac{z-b}{z-a}=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}). Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).

Erreurs fréquentes

1

Donner un argument sans préciser modulo 2π.

2

Oublier une racine n-ième : il y en a exactement n.

3

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂|.

4

Écrire la rotation z′ = e^(iθ) z quand le centre n'est pas l'origine.

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=1+iz=1+i sous forme exponentielle, puis calculer z6z^{6}.

Correction

∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2.
cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, donc θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4} : z=2 eiπ/4z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}.
z6=(2)6 ei⋅6π/4=8 ei 3π/2z^{6}=(\sqrt2)^{6}\,e^{i\cdot 6\pi/4}=8\,e^{i\,3\pi/2}.
ei 3π/2=cos⁡3π2+isin⁡3π2=−ie^{i\,3\pi/2}=\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}=-i, donc z6=−8iz^{6}=-8i.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire z=−1+i3z=-1+i\sqrt{3} sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
∣z∣=1+3=2|z|=\sqrt{1+3}=2. cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{2}, sin⁡θ=32\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, donc θ=2π3\theta=\dfrac{2\pi}{3}. z=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=2ei 2π/3z=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=2e^{i\,2\pi/3}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z4=16z^{4}=16.
Voir la correction
16=16ei⋅016=16e^{i\cdot 0}, donc zk=2ei kπ/2z_k=2e^{i\,k\pi/2}, k=0,1,2,3k=0,1,2,3 : z0=2z_0=2, z1=2iz_1=2i, z2=−2z_2=-2, z3=−2iz_3=-2i.

Exercice 3

Difficile
Soient A(2)A(2), B(2i)B(2i), C(−2)C(-2), D(−2i)D(-2i) (racines de z4=16z^4=16). Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?
Voir la correction
Les quatre points ont pour module 22 : ils sont sur le cercle de centre OO et de rayon 22, aux arguments 00, π2\dfrac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\dfrac{3\pi}{2}, donc régulièrement espacés. ABCDABCD est un carré de centre OO (diagonales [AC][AC] et [BD][BD] de même longueur 44, perpendiculaires et de même milieu OO).

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Questions fréquentes

Comment mettre un complexe sous forme exponentielle ?

On calcule r = √(x² + y²), puis θ tel que cos θ = x/r et sin θ = y/r. Alors z = r e^(iθ).

Combien de racines n-ièmes ?

Exactement n, réparties régulièrement sur un cercle centré à l'origine, de rayon la racine n-ième du module.

Où les nombres complexes servent-ils en Sciences de l'Ingénieur ?

En régime sinusoïdal : une impédance complexe encode l'amplitude (module) et le déphasage (argument) d'une grandeur. L'épreuve de maths les évalue toutefois de façon autonome.

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