Fonctions primitives — Cours Maths Bac STE

Q: Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Q: Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; ln|x| couvre les deux cas.

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral et servent à résoudre y′ = f(x).

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale ou d'une équation différentielle. Les formes u′/u et u′eᵘ sont systématiquement testées.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u
Exploiter l'unicité à une constante près
Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

F

est une primitive de

f

sur

I

F'=f

. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n\neq-1

\dfrac1x\to\ln|x|

e^x\to e^x

\cos x\to\sin x

\sin x\to-\cos x

Formes composées

u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|

\;u'e^{u}\to e^{u}

\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u}

\;u'\cos u\to\sin u

Condition initiale

Une seule primitive

F+c

vérifie

F(x_0)=y_0

: on écrit la primitive générale et on résout en

c

Erreurs fréquentes

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{6x+2}{3x^2+2x+1}

sur

\mathbb{R}

, puis de

g(x)=4x\,e^{2x^2+1}

Correction

Pour $f$ .

u(x)=3x^2+2x+1

;

u'(x)=6x+2

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

. Discriminant

4-12<0

, donc

u>0

partout :

F(x)=\ln(3x^2+2x+1)

Pour $g$ .

u(x)=2x^2+1

;

u'(x)=4x

, donc

g=u'e^{u}

Une primitive est

G(x)=e^{2x^2+1}

Vérification :

G'(x)=4x\,e^{2x^2+1}=g(x)

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac STE, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer la primitive

F

f(x)=5x^4-3x^2+2

telle que

F(0)=1

Voir la correction

F(x)=x^5-x^3+2x+c

F(0)=c=1

, donc

F(x)=x^5-x^3+2x+1

Exercice 2

Moyen

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{x}{x^2+5}

sur

\mathbb{R}

Voir la correction

f(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+5}=\dfrac12\dfrac{u'}{u}

avec

u=x^2+5>0

. Une primitive est

F(x)=\dfrac12\ln(x^2+5)

Exercice 3

Difficile

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}

sur

\mathbb{R}

et de

g(x)=x^2(x^3+1)^{4}

Voir la correction

Pour

f

u=2+\sin x>0

u'=\cos x

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

F(x)=\ln(2+\sin x)

. Pour

g

u=x^3+1

u'=3x^2

, donc

g=\tfrac13 u'u^{4}

G(x)=\dfrac{(x^3+1)^{5}}{15}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x < 0 et x > 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; la primitive est ln|dénominateur|.