Fonctions primitives — Cours Maths Bac STE

Q: Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Q: Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; ln|x| couvre les deux cas.

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral et servent à résoudre y′ = f(x).

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale ou d'une équation différentielle. Les formes u′/u et u′eᵘ sont systématiquement testées.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u
Exploiter l'unicité à une constante près
Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

F

est une primitive de

f

sur

I

F'=f

. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n\neq-1

\dfrac1x\to\ln|x|

e^x\to e^x

\cos x\to\sin x

\sin x\to-\cos x

Formes composées

u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|

\;u'e^{u}\to e^{u}

\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u}

\;u'\cos u\to\sin u

Condition initiale

Une seule primitive

F+c

vérifie

F(x_0)=y_0

: on écrit la primitive générale et on résout en

c

Erreurs fréquentes

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{6x+2}{3x^2+2x+1}

sur

\mathbb{R}

, puis de

g(x)=4x\,e^{2x^2+1}

Correction

Pour $f$ .

u(x)=3x^2+2x+1

;

u'(x)=6x+2

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

. Discriminant

4-12<0

, donc

u>0

partout :

F(x)=\ln(3x^2+2x+1)

Pour $g$ .

u(x)=2x^2+1

;

u'(x)=4x

, donc

g=u'e^{u}

Une primitive est

G(x)=e^{2x^2+1}

Vérification :

G'(x)=4x\,e^{2x^2+1}=g(x)

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Exercice 1

Facile

Déterminer la primitive

F

f(x)=5x^4-3x^2+2

telle que

F(0)=1

Voir la correction

F(x)=x^5-x^3+2x+c

F(0)=c=1

, donc

F(x)=x^5-x^3+2x+1

Exercice 2

Moyen

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{x}{x^2+5}

sur

\mathbb{R}

Voir la correction

f(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+5}=\dfrac12\dfrac{u'}{u}

avec

u=x^2+5>0

. Une primitive est

F(x)=\dfrac12\ln(x^2+5)

Exercice 3

Difficile

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}

sur

\mathbb{R}

et de

g(x)=x^2(x^3+1)^{4}

Voir la correction

Pour

f

u=2+\sin x>0

u'=\cos x

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

F(x)=\ln(2+\sin x)

. Pour

g

u=x^3+1

u'=3x^2

, donc

g=\tfrac13 u'u^{4}

G(x)=\dfrac{(x^3+1)^{5}}{15}

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x < 0 et x > 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; la primitive est ln|dénominateur|.