OrkaOrka/Bac/Sciences et Technologies Électriques (STE)
Mathématiques · Bac STE · Coefficient 7

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac STE

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et étude de fonctions faisant intervenir ln.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le logarithme et l'exponentielle forment le cœur analytique de l'épreuve : au moins un des deux problèmes porte sur une fonction les combinant.

À l'épreuve

Étude complète d'une fonction du type x ↦ x − 3 + 3 ln x : domaine, limites (croissances comparées), dérivée, tableau, existence d'un zéro par le TVI ; parfois une équation avec ln.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0, x ln x → 0⁺
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u
  • Mener l'étude complète d'une fonction contenant ln

Notions clés

Propriétés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Limites

lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est ln⁡∣u∣\ln|u|.

Erreurs fréquentes

1

Résoudre une équation avec ln sans fixer le domaine.

2

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.

3

Négliger les croissances comparées et déclarer « +∞ − ∞ » sans lever la forme.

4

Dériver ln(u) en 1/u en oubliant le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(x2−3)=ln⁡(2x)\ln(x^2-3)=\ln(2x).

Correction

Domaine. Il faut x2−3>0x^2-3>0 et 2x>02x>0, donc x>3x>\sqrt3.
Égalité des arguments. x2−3=2x  ⟺  x2−2x−3=0  ⟺  (x−3)(x+1)=0x^2-3=2x \iff x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0.
x=3x=3 ou x=−1x=-1.
Domaine. x=3>3x=3>\sqrt3 (retenue) ; x=−1x=-1 (rejetée). S={3}S=\{3\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac STE, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(5x−4)=ln⁡(2x+2)\ln(5x-4)=\ln(2x+2).
Voir la correction
Domaine : x>45x>\tfrac45. L'équation équivaut à 5x−4=2x+25x-4=2x+2, soit x=2x=2. Comme 2>452>\tfrac45, S={2}S=\{2\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que (1,1)n≥5(1{,}1)^{n}\ge 5.
Voir la correction
(1,1)n≥5  ⟺  n≥ln⁡5ln⁡1,1≈1,6090,09531≈16,89(1{,}1)^{n}\ge 5 \iff n\ge\dfrac{\ln 5}{\ln 1{,}1}\approx\dfrac{1{,}609}{0{,}09531}\approx 16{,}89. Le plus petit entier est n=17n=17.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x−3+3ln⁡xf(x)=x-3+3\ln x sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Montrer que ff est strictement croissante, puis qu'elle admet un unique zéro α\alpha avec 1<α<e1<\alpha<e.
Voir la correction
f′(x)=1+3x>0f'(x)=1+\dfrac{3}{x}>0 : ff est strictement croissante, avec lim⁡x→0+f=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f=-\infty et lim⁡x→+∞f=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty, donc bijection de ]0,+∞[]0,+\infty[ sur R\mathbb{R}. L'équation f(x)=0f(x)=0 a donc une unique solution α\alpha. f(1)=1−3+0=−2<0f(1)=1-3+0=-2<0 et f(e)=e−3+3=e>0f(e)=e-3+3=e>0, donc 1<α<e1<\alpha<e.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

On fixe le domaine (chaque argument > 0), on regroupe les ln, on identifie les arguments, on résout, puis on garde les solutions du domaine.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

Quelle est la dérivée de ln(u) ?

u′/u, définie là où u > 0. C'est aussi pourquoi une primitive de u′/u est ln|u|.

À lire aussi

Fonctions exponentielles — Bac STEDérivation et étude des fonctions — Bac STEProgramme de Mathématiques Bac STE