Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac STE

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, fréquemment posé dans un cadre de contrôle de composants.

À l'épreuve

Un exercice type tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales (deux lignes de production), définir une variable aléatoire X (nombre de composants défectueux), donner sa loi et son espérance ; parfois une loi binomiale.

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}

. Permutations :

n!

Conditionnement et probabilités totales

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Loi binomiale

Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

; lorsque

P(B) \ne 0

, cela revient à

P_B(A) = P(A)

: savoir que

B

est réalisé ne change pas la probabilité de

A

. Ne pas confondre avec des événements incompatibles (

A \cap B = \emptyset

). Si

A

B

sont deux événements indépendants,

A

\bar B

le sont aussi. Lors d'épreuves successives indépendantes, les probabilités se multiplient. Exemple : on lance un dé ;

A

= « nombre pair » (

P = \dfrac{1}{2}

) et

B

= « nombre inférieur ou égal à 2 » (

P = \dfrac{1}{3}

) ;

A \cap B = \{2\}

a pour probabilité

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}

: ces deux événements sont indépendants.

Probabilité conditionnelle et probabilités totales

P(B) \ne 0

, la probabilité de

A

sachant

B

est

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

; d'où

P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)

. Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. Formule des probabilités totales :

P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar B)\,P_{\bar B}(A)

. Exemple : 60 % des pièces viennent de la machine

M_1

, dont 2 % sont défectueuses, et 40 % de

M_2

, dont 5 % sont défectueuses ;

P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032

, et la probabilité conditionnelle qu'une pièce défectueuse vienne de

M_1

vaut

\dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Appliquer la loi binomiale sans indépendance ou avec p non constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de

12

composants contient

4

composants défectueux. On en prélève

3

au hasard, simultanément. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

1

composant défectueux.

Correction

Nombre total de prélèvements :

\dbinom{12}{3}=220

Cas favorables :

1

défectueux parmi

4

2

bons parmi

8

\dbinom{4}{1}\times\dbinom{8}{2}=4\times 28=112

P(\text{exactement 1 défectueux})=\dfrac{112}{220}

En simplifiant par

4

P=\dfrac{28}{55}\approx 0{,}509

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien de codes de

3

chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de

1

7

Voir la correction

L'ordre compte, sans répétition :

A_7^{3}=7\times 6\times 5=210

Exercice 2

Moyen

65\%

des composants viennent de la ligne 1,

35\%

de la ligne 2.

3\%

de la ligne 1 et

7\%

de la ligne 2 sont défectueux. Un composant défectueux : quelle est la probabilité qu'il vienne de la ligne 2 ?

Voir la correction

P(L_1)=0{,}65

P(D\mid L_1)=0{,}03

P(D\mid L_2)=0{,}07

P(D)=0{,}65\times 0{,}03+0{,}35\times 0{,}07=0{,}0195+0{,}0245=0{,}044

. Bayes :

P(L_2\mid D)=\dfrac{0{,}0245}{0{,}044}\approx 0{,}557

Exercice 3

Difficile

Un contrôle porte sur

6

composants indépendants, chacun défectueux avec probabilité

0{,}1

. Soit

X

le nombre de composants défectueux. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 1)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}(6,\ 0{,}1)

P(X=k)=\dbinom{6}{k}(0{,}1)^{k}(0{,}9)^{6-k}

E(X)=np=0{,}6

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0{,}9)^6=1-0{,}531441\approx 0{,}469

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (code, classement) → arrangement Aₙᵖ. Ordre indifférent (prélèvement simultané, échantillon) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (lignes de production, lots) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (conforme / défectueux) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de défauts suit B(n, p), d'espérance np.