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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Suites numériques — Cours Maths Bac SMB

Récurrence, suites arithmétiques et géométriques, et surtout l'étude des suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) : bornes, monotonie, convergence vers un point fixe et vitesse de convergence.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Les suites sont le premier chapitre où la rédaction rigoureuse d'une récurrence est notée pour elle-même ; elles reviennent avec le logarithme, l'exponentielle et les intégrales (suites (Iₙ)).

À l'épreuve

Un grand classique : une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), qu'on encadre par récurrence, dont on étudie la monotonie via le signe de uₙ₊₁ − uₙ, puis on conclut par le théorème de la limite monotone. La limite se calcule en résolvant ℓ = f(ℓ) une fois la convergence acquise.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Rédiger une démonstration par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion)
  • Encadrer une suite récurrente et étudier son sens de variation
  • Appliquer le théorème de la limite monotone et calculer la limite par ℓ = f(ℓ)
  • Utiliser une suite auxiliaire (arithmétique ou géométrique) pour expliciter uₙ

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1). qn→0q^n\to 0 si ∣q∣<1|q|<1, →+∞\to+\infty si q>1q>1.

Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Si ff est continue en la limite ℓ\ell, alors ℓ\ell vérifie ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Suites adjacentes

(un)(u_n) croissante, (vn)(v_n) décroissante et lim⁡(vn−un)=0\lim(v_n-u_n)=0 : alors les deux suites convergent vers la même limite ℓ\ell, et pour tout nn, un≤ℓ≤vnu_n\le\ell\le v_n.

Vitesse de convergence

Si ∣un+1−ℓ∣≤k ∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell| avec 0≤k<10\le k<1, alors par récurrence ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|, donc un→ℓu_n\to\ell. On obtient kk en majorant ∣f′∣|f'| (inégalité des accroissements finis).

Erreurs fréquentes

1
Oublier l'initialisation dans une récurrence : vérifier le rang 0 (ou 1) est indispensable.
2
Annoncer la limite d'une suite récurrente sans avoir prouvé la convergence.
3
Utiliser dans l'hérédité une propriété non encore établie (par exemple « (uₙ) est majorée »).
4
Confondre « majorée » et « convergente » : une suite majorée n'est convergente que si elle est aussi monotone.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}. Montrer que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction

Encadrement. Montrons par récurrence que 0≤un≤20\le u_n\le 2. Initialisation : u0=1∈[0,2]u_0=1\in[0,2]. Hérédité : si 0≤un≤20\le u_n\le 2, alors 2≤un+2≤42\le u_n+2\le 4, donc 2≤un+1≤2\sqrt{2}\le u_{n+1}\le 2, en particulier 0≤un+1≤20\le u_{n+1}\le 2.
Monotonie. un+1−un=un+2−unu_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n. Or pour x∈[0,2]x\in[0,2], x+2≥x  ⟺  x+2≥x2  ⟺  x2−x−2≤0  ⟺  (x−2)(x+1)≤0\sqrt{x+2}\ge x \iff x+2\ge x^2 \iff x^2-x-2\le 0 \iff (x-2)(x+1)\le 0, vrai sur [0,2][0,2]. Donc un+1≥unu_{n+1}\ge u_n : (un)(u_n) est croissante.
Convergence. (un)(u_n) est croissante et majorée par 22, donc elle converge vers un réel ℓ∈[1,2]\ell\in[1,2].
Limite. x↦x+2x\mapsto\sqrt{x+2} est continue, donc ℓ=ℓ+2\ell=\sqrt{\ell+2}, soit ℓ2=ℓ+2\ell^2=\ell+2 avec ℓ≥0\ell\ge 0 : ℓ2−ℓ−2=0\ell^2-\ell-2=0, ℓ=2\ell=2.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=5u_0=5 et de raison q=2q=2. Calculer u6u_6 et S=u0+u1+⋯+u6S=u_0+u_1+\dots+u_6.
Voir la correction
u6=5×26=5×64=320u_6=5\times 2^6=5\times 64=320. S=u01−q71−q=5×1−1281−2=5×127=635S=u_0\dfrac{1-q^7}{1-q}=5\times\dfrac{1-128}{1-2}=5\times 127=635.

Exercice 2

Moyen
v0=0v_0=0 et vn+1=12vn+3v_{n+1}=\tfrac12 v_n+3. On pose wn=vn−6w_n=v_n-6. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique, en déduire vnv_n puis lim⁡vn\lim v_n.
Voir la correction
wn+1=vn+1−6=12vn+3−6=12(vn−6)=12wnw_{n+1}=v_{n+1}-6=\tfrac12 v_n+3-6=\tfrac12(v_n-6)=\tfrac12 w_n : (wn)(w_n) est géométrique de raison 12\tfrac12, w0=−6w_0=-6. Donc wn=−6(12)nw_n=-6\left(\tfrac12\right)^n et vn=6−6(12)nv_n=6-6\left(\tfrac12\right)^n. Comme (12)n→0\left(\tfrac12\right)^n\to 0, lim⁡vn=6\lim v_n=6.

Exercice 3

Difficile
Soit (un)(u_n) : u0=3u_0=3 et un+1=3un−2u_{n+1}=\sqrt{3u_n-2}. Montrer que 2≤un≤32\le u_n\le 3, que (un)(u_n) est décroissante, et calculer sa limite.
Voir la correction
Récurrence : si 2≤un≤32\le u_n\le 3, alors 3un−2∈[4,7]3u_n-2\in[4,7], donc un+1=3un−2∈[2,7 ]⊂[2,3]u_{n+1}=\sqrt{3u_n-2}\in[2,\sqrt7\,]\subset[2,3] (init. u0=3u_0=3). Sur [2,3][2,3] : 3x−2≤x  ⟺  3x−2≤x2  ⟺  x2−3x+2≥0  ⟺  (x−1)(x−2)≥0\sqrt{3x-2}\le x \iff 3x-2\le x^2 \iff x^2-3x+2\ge 0 \iff (x-1)(x-2)\ge 0, vrai pour x≥2x\ge 2. Donc un+1≤unu_{n+1}\le u_n : décroissante. Minorée par 22 et décroissante ⇒\Rightarrow converge vers ℓ∈[2,3]\ell\in[2,3] avec ℓ=3ℓ−2\ell=\sqrt{3\ell-2}, soit ℓ2−3ℓ+2=0\ell^2-3\ell+2=0, ℓ∈{1,2}\ell\in\{1,2\} ; comme ℓ≥2\ell\ge 2, ℓ=2\ell=2.

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Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

On l'encadre par récurrence, on montre qu'elle est monotone (signe de uₙ₊₁ − uₙ), puis on applique le théorème de la limite monotone. La limite se trouve ensuite en résolvant ℓ = f(ℓ).

Que sont deux suites adjacentes ?

Une suite croissante et une suite décroissante dont la différence tend vers 0. Elles convergent alors vers une même limite, encadrée par tous leurs termes. C'est l'outil des valeurs approchées par dichotomie.

Quand utiliser une suite auxiliaire ?

Quand uₙ₊₁ = a·uₙ + b (a ≠ 1) : la suite wₙ = uₙ − ℓ, où ℓ = b/(1−a) est le point fixe, est géométrique de raison a. On explicite wₙ puis uₙ.

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