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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Fonctions primitives — Cours Maths Bac SMB

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : primitives usuelles, reconnaissance des formes u′f(u), et détermination de LA primitive vérifiant une condition donnée.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral : toute intégrale $\int_a^b f$ se calcule via une primitive $F$ de $f$.

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale, de résolution d'équation différentielle, ou d'étude d'une fonction définie par une intégrale. La reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ est systématiquement testée.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser la définition : F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F′ = f
  • Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
  • Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u et écrire une primitive
  • Exploiter l'unicité à une constante près : deux primitives diffèrent d'une constante
  • Déterminer la primitive vérifiant une condition F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

FF est une primitive de ff sur II si F′=fF'=f sur II. Sur un intervalle, deux primitives de ff diffèrent d'une constante : l'ensemble des primitives est {F+c,  c∈R}\{F+c,\;c\in\mathbb{R}\}.

Primitives usuelles

xn→xn+1n+1x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (n≠−1n\neq-1), 1x→ln⁡∣x∣\dfrac1x\to\ln|x|, ex→exe^x\to e^x, cos⁡x→sin⁡x\cos x\to\sin x, sin⁡x→−cos⁡x\sin x\to-\cos x, 1x→2x\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to 2\sqrt{x}.

Formes composées

u′un→un+1n+1u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1},   u′u→ln⁡∣u∣\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|,   u′eu→eu\;u'e^{u}\to e^{u},   u′u→2u\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u},   u′cos⁡u→sin⁡u\;u'\cos u\to\sin u.

Condition initiale

Parmi toutes les primitives F+cF+c, une seule vérifie F(x0)=y0F(x_0)=y_0 : on écrit la primitive générale, on remplace xx par x0x_0, on résout en cc.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la constante d'intégration quand on cherche « une primitive » sans condition.

2

Écrire une primitive de 1/x sous la forme ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

3

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ (→ uⁿ⁺¹/(n+1)).

4

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de f(x)=2x+1x2+x+3f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3} sur R\mathbb{R}, puis de g(x)=x ex2g(x)=x\,e^{x^2}.

Correction

Pour ff. On pose u(x)=x2+x+3u(x)=x^2+x+3 ; alors u′(x)=2x+1u'(x)=2x+1, donc f=u′uf=\dfrac{u'}{u}. Comme uu a un discriminant 1−12<01-12<0, u>0u>0 partout, donc une primitive est F(x)=ln⁡(x2+x+3)F(x)=\ln(x^2+x+3).
Pour gg. On pose u(x)=x2u(x)=x^2 ; alors u′(x)=2xu'(x)=2x, donc g(x)=x ex2=12(2x)ex2=12 u′eug(x)=x\,e^{x^2}=\tfrac12(2x)e^{x^2}=\tfrac12\,u'e^{u}.
Une primitive est donc G(x)=12 ex2G(x)=\tfrac12\,e^{x^2}.
Vérification : G′(x)=12⋅2x⋅ex2=x ex2=g(x)G'(x)=\tfrac12\cdot 2x\cdot e^{x^2}=x\,e^{x^2}=g(x).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Déterminer la primitive FF de f(x)=3x2−4x+5f(x)=3x^2-4x+5 telle que F(1)=0F(1)=0.
Voir la correction
F(x)=x3−2x2+5x+cF(x)=x^3-2x^2+5x+c. F(1)=1−2+5+c=4+c=0F(1)=1-2+5+c=4+c=0, donc c=−4c=-4 et F(x)=x3−2x2+5x−4F(x)=x^3-2x^2+5x-4.

Exercice 2

Moyen
Déterminer une primitive de f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} sur R\mathbb{R}.
Voir la correction
Avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1, u′(x)=2xu'(x)=2x : f(x)=12u′uf(x)=\tfrac12\dfrac{u'}{\sqrt{u}}. Or u′u→2u\dfrac{u'}{\sqrt u}\to 2\sqrt u, donc une primitive est F(x)=12⋅2x2+1=x2+1F(x)=\tfrac12\cdot 2\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}.

Exercice 3

Difficile
Déterminer une primitive de f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et de g(x)=tan⁡xg(x)=\tan x sur ]−π2;π2[\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[.
Voir la correction
Pour ff : avec u=ln⁡xu=\ln x, u′=1xu'=\tfrac1x, on a f=u′uf=u'u, donc F(x)=(ln⁡x)22F(x)=\dfrac{(\ln x)^2}{2}. Pour gg : tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−−sin⁡xcos⁡x=−u′u\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\dfrac{u'}{u} avec u=cos⁡x>0u=\cos x>0, donc G(x)=−ln⁡(cos⁡x)G(x)=-\ln(\cos x).

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini sur ]−∞,0[ ∪ ]0,+∞[. Sur l'intervalle où x < 0, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est (à un coefficient près) la dérivée du dénominateur. On ajuste le coefficient et la primitive est ln|dénominateur|.

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