OrkaOrka/Bac/Sciences de Gestion Comptable (SGC)
Commencer
Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Suites numériques — Cours Maths Bac SGC

Suites arithmétiques et géométriques, récurrence, et leur usage comptable : actualisation, escompte, capital restant dû d'un emprunt indivis, valeur actuelle d'une suite d'annuités.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Les suites sont directement réinvesties en Comptabilité et Mathématiques Financières (coef 8) : l'actualisation est une suite géométrique, le tableau d'amortissement d'un emprunt une suite récurrente affine.

À l'épreuve

Une valeur actualisée d'un effet de commerce (suite géométrique $V_0=V_n(1+i)^{-n}$), un capital restant dû modélisé par $D_{n+1}=(1+i)D_n-a$ résolu via une suite auxiliaire, et le calcul d'une valeur actuelle d'annuités par somme géométrique.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Modéliser une actualisation / capitalisation par une suite géométrique
  • Rédiger une démonstration par récurrence
  • Résoudre une suite récurrente affine (capital restant dû) via une suite auxiliaire
  • Calculer la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1).

Capitalisation et actualisation

Capitalisation : Cn=C0(1+i)nC_n=C_0(1+i)^n (géométrique de raison 1+i1+i). Actualisation : la valeur actuelle d'un montant VnV_n disponible dans nn périodes est V0=Vn(1+i)−nV_0=V_n(1+i)^{-n}.

Suite récurrente affine

Le capital restant dû d'un emprunt à annuités constantes aa suit Dn+1=(1+i)Dn−aD_{n+1}=(1+i)D_n-a. La suite wn=Dn−ℓw_n=D_n-\ell, avec ℓ=ai\ell=\dfrac{a}{i}, est géométrique de raison 1+i1+i.

Valeur actuelle d'annuités

nn annuités constantes aa (fin de période) actualisées au taux ii : V0=∑k=1na(1+i)−k=a 1−(1+i)−niV_0=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a(1+i)^{-k}=a\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Limite et convergence d'une suite

Une suite converge vers un réel ℓ\ell si ses termes deviennent aussi proches de ℓ\ell qu'on veut à partir d'un certain rang ; sinon elle diverge. Pour une suite géométrique qnq^n : si −1<q<1-1 < q < 1, lim⁡qn=0\lim q^n = 0 ; si q>1q > 1, lim⁡qn=+∞\lim q^n = +\infty ; si q=1q = 1, la suite est constante ; si q≤−1q \le -1, elle n'a pas de limite. Une suite arithmétique de raison r>0r > 0 tend vers +∞+\infty. Toute suite croissante et majorée converge. Exemple : un=3×0,5n+2u_n = 3 \times 0{,}5^n + 2 a pour limite 22, car lim⁡0,5n=0\lim 0{,}5^n = 0.

Erreurs fréquentes

1
Confondre capitalisation (exposant +n) et actualisation (exposant −n).
2
Confondre intérêts simples (suite arithmétique) et intérêts composés (suite géométrique).
3
Oublier l'initialisation dans une récurrence.
4
Utiliser la somme géométrique avec q = 1.

Exemple corrigé

Énoncé

Une traite de valeur nominale 20 00020\,000 DH est payable dans 33 ans. Au taux d'actualisation annuel de 6%6\%, calculer sa valeur actuelle V0V_0.

Correction

La valeur actuelle est V0=V3 (1,06)−3V_0=V_3\,(1{,}06)^{-3} avec V3=20 000V_3=20\,000.
(1,06)3=1,191016(1{,}06)^{3}=1{,}191016, donc (1,06)−3=11,191016≈0,839619(1{,}06)^{-3}=\dfrac{1}{1{,}191016}\approx 0{,}839619.
V0≈20 000×0,839619V_0\approx 20\,000\times 0{,}839619.
V0≈16 792,39V_0\approx 16\,792{,}39 DH.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Mathématiques du Bac SGC, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=4u_0=4 et de raison q=2q=2. Calculer u5u_5 et S=u0+u1+⋯+u5S=u_0+u_1+\dots+u_5.
Voir la correction
u5=4×25=128u_5=4\times 2^5=128. S=u01−q61−q=4×1−641−2=4×63=252S=u_0\dfrac{1-q^6}{1-q}=4\times\dfrac{1-64}{1-2}=4\times 63=252.

Exercice 2

Moyen
Un emprunt est remboursé par annuités. Le capital restant dû vérifie Dn+1=1,04 Dn−6000D_{n+1}=1{,}04\,D_n-6000, avec D0=40 000D_0=40\,000. On pose wn=Dn−150 000w_n=D_n-150\,000. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique et exprimer DnD_n.
Voir la correction
ℓ\ell tel que ℓ=1,04ℓ−6000⇒ℓ=60000,04=150 000\ell=1{,}04\ell-6000 \Rightarrow \ell=\dfrac{6000}{0{,}04}=150\,000. wn+1=Dn+1−150 000=1,04(Dn−150 000)=1,04 wnw_{n+1}=D_{n+1}-150\,000=1{,}04(D_n-150\,000)=1{,}04\,w_n : géométrique de raison 1,041{,}04, w0=40 000−150 000=−110 000w_0=40\,000-150\,000=-110\,000. Donc wn=−110 000×(1,04)nw_n=-110\,000\times(1{,}04)^n et Dn=150 000−110 000×(1,04)nD_n=150\,000-110\,000\times(1{,}04)^n. (Vérification : D1=150 000−114 400=35 600=1,04×40 000−6000D_1=150\,000-114\,400=35\,600=1{,}04\times 40\,000-6000.)

Exercice 3

Difficile
Établir la formule de la valeur actuelle de 88 annuités constantes de 50005000 DH au taux annuel de 5%5\%, et la calculer.
Voir la correction
L'annuité versée à la fin de l'année kk (1≤k≤81\le k\le 8) a pour valeur actuelle 5000 (1,05)−k5000\,(1{,}05)^{-k}. En sommant : V0=∑k=185000 (1,05)−k=5000×1−(1,05)−80,05V_0=\displaystyle\sum_{k=1}^{8}5000\,(1{,}05)^{-k}=5000\times\dfrac{1-(1{,}05)^{-8}}{0{,}05}. Avec (1,05)8≈1,477455(1{,}05)^{8}\approx 1{,}477455, (1,05)−8≈0,676839(1{,}05)^{-8}\approx 0{,}676839 : V0≈5000×0,3231610,05≈5000×6,4632≈32 316V_0\approx 5000\times\dfrac{0{,}323161}{0{,}05}\approx 5000\times 6{,}4632\approx 32\,316 DH.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Capitalisation ou actualisation, quelle formule ?

Capitalisation (valeur future) : Cₙ = C₀(1 + i)ⁿ. Actualisation (valeur présente d'un montant futur) : V₀ = Vₙ(1 + i)⁻ⁿ. Ce sont deux opérations inverses.

Comment expliciter le capital restant dû d'un emprunt ?

Dₙ suit Dₙ₊₁ = (1 + i)Dₙ − a. On calcule le point fixe ℓ = a/i, la suite wₙ = Dₙ − ℓ est géométrique de raison 1 + i, on explicite wₙ puis Dₙ.

Qu'est-ce que la valeur actuelle d'une suite d'annuités ?

La somme des annuités chacune actualisée à aujourd'hui. Pour n annuités constantes a au taux i : V₀ = a·(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i.

À lire aussi

Fonctions logarithmiques — Bac SGCComptabilité et Mathématiques Financières — Bac SGCProgramme de Mathématiques Bac SGC