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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Fonctions primitives — Cours Maths Bac SGC

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : primitives usuelles, formes u′f(u), condition initiale — et l'application : reconstituer un coût (ou une recette) total à partir de sa version marginale.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Les primitives permettent de « remonter » du marginal au total : $C(x)=\int Cm(x)\,dx$, la constante étant fixée par les charges fixes $C(0)$.

À l'épreuve

Déterminer un coût total à partir du coût marginal et des charges fixes, une recette à partir de la recette marginale, ou une primitive vérifiant une condition ; reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
  • Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ)
  • Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ
  • Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀
  • Reconstituer un coût ou une recette total(e) à partir de sa forme marginale

Notions clés

Définition et unicité

FF est une primitive de ff sur II si F′=fF'=f. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

xn→xn+1n+1x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (n≠−1n\neq-1), 1x→ln⁡∣x∣\dfrac1x\to\ln|x|, ex→exe^x\to e^x.

Formes composées

u′u→ln⁡∣u∣\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|,   u′eu→eu\;u'e^{u}\to e^{u},   u′un→un+1n+1\;u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}.

Du marginal au total

Si Cm(x)=C′(x)Cm(x)=C'(x) est connu : C(x)=∫Cm(x) dx+kC(x)=\displaystyle\int Cm(x)\,dx+k, et k=C(0)k=C(0) correspond aux charges fixes.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

2

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

3

Fixer la constante avec autre chose que les charges fixes C(0).

4

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Exemple corrigé

Énoncé

Le coût marginal est Cm(x)=6x2−10x+12Cm(x)=6x^2-10x+12 et les charges fixes valent C(0)=80C(0)=80. Déterminer le coût total C(x)C(x).

Correction

CC est une primitive de CmCm : C(x)=∫(6x2−10x+12) dx=2x3−5x2+12x+kC(x)=\displaystyle\int(6x^2-10x+12)\,dx=2x^3-5x^2+12x+k.
La constante kk est fixée par les charges fixes : C(0)=k=80C(0)=k=80.
Donc C(x)=2x3−5x2+12x+80C(x)=2x^3-5x^2+12x+80.
Vérification : C′(x)=6x2−10x+12=Cm(x)C'(x)=6x^2-10x+12=Cm(x) et C(0)=80C(0)=80.

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Exercice 1

Facile
Déterminer la primitive FF de f(x)=6x2−4x+5f(x)=6x^2-4x+5 telle que F(0)=3F(0)=3.
Voir la correction
F(x)=2x3−2x2+5x+cF(x)=2x^3-2x^2+5x+c. F(0)=c=3F(0)=c=3, donc F(x)=2x3−2x2+5x+3F(x)=2x^3-2x^2+5x+3.

Exercice 2

Moyen
Déterminer une primitive de f(x)=2x−3x2−3x+7f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+7} sur R\mathbb{R}.
Voir la correction
On pose u(x)=x2−3x+7u(x)=x^2-3x+7 (discriminant 9−28<09-28<0, donc u>0u>0). u′(x)=2x−3u'(x)=2x-3, donc f=u′uf=\dfrac{u'}{u} et une primitive est F(x)=ln⁡(x2−3x+7)F(x)=\ln(x^2-3x+7).

Exercice 3

Difficile
La recette marginale est Rm(x)=90−6xRm(x)=90-6x et R(0)=0R(0)=0. Déterminer la recette totale R(x)R(x), puis la quantité qui la maximise.
Voir la correction
R(x)=∫(90−6x) dx=90x−3x2+kR(x)=\displaystyle\int(90-6x)\,dx=90x-3x^2+k, et R(0)=k=0R(0)=k=0, donc R(x)=90x−3x2R(x)=90x-3x^2. R′(x)=Rm(x)=90−6x=0  ⟺  x=15R'(x)=Rm(x)=90-6x=0 \iff x=15, avec R′>0R'>0 avant et R′<0R'<0 après : maximum en x=15x=15, R(15)=1350−675=675R(15)=1350-675=675.

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Questions fréquentes

Comment retrouver un coût total à partir du coût marginal ?

On intègre le coût marginal (on cherche une primitive), et on fixe la constante d'intégration à l'aide des charges fixes C(0).

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Les fonctions de coût, recette et résultat du programme sont continues.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; la primitive est alors ln|dénominateur|.

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