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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac SGC

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. L'exponentielle est la version « temps continu » de la capitalisation : $K(t)=K_0\,e^{rt}$.

À l'épreuve

Résolution d'une équation $e^{ax}+\dots=0$ par le changement $X=e^{x}$, étude d'une fonction $x\mapsto (x+b)e^{x}$ ou $x\mapsto e^{-x}$, limites avec croissances comparées, et une inégalité démontrée par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Propriétés

eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}, e0=1e^0=1. exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0.

Limites

lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+, lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0.

Dérivée et convexité

(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe : ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Changement de variable

Une équation polynomiale en exe^x se résout en posant X=exX=e^x (X>0X>0), puis x=ln⁡Xx=\ln X pour chaque racine positive.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la contrainte X = eˣ > 0.

2

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.

3

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

4

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−6ex+8=0e^{2x}-6e^{x}+8=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−6X+8=0X^2-6X+8=0.
X2−6X+8=(X−2)(X−4)=0X^2-6X+8=(X-2)(X-4)=0, donc X=2X=2 ou X=4X=4 (toutes deux >0>0).
ex=2  ⟺  x=ln⁡2e^{x}=2 \iff x=\ln 2 ; ex=4  ⟺  x=ln⁡4e^{x}=4 \iff x=\ln 4.
S={ln⁡2, ln⁡4}S=\{\ln 2,\ \ln 4\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x+1=e3e^{2x+1}=e^{3}.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 2x+1=32x+1=3, soit x=1x=1.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(2x−3)e−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x-3)e^{-x} et lim⁡x→−∞(x2−x)ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-x)e^{x}.
Voir la correction
(2x−3)e−x=2x−3ex→0(2x-3)e^{-x}=\dfrac{2x-3}{e^{x}}\to 0 par croissance comparée. (x2−x)ex=x2ex−xex→0(x^2-x)e^{x}=x^2 e^{x}-x e^{x}\to 0 en −∞-\infty (chaque terme tend vers 00).

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout x≥0x\ge 0 : e−x≤1−x+x22e^{-x}\le 1-x+\dfrac{x^{2}}{2}.
Voir la correction
Posons h(x)=1−x+x22−e−xh(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-e^{-x}. h(0)=0h(0)=0. h′(x)=−1+x+e−xh'(x)=-1+x+e^{-x}, h′(0)=0h'(0)=0. h′′(x)=1−e−x≥0h''(x)=1-e^{-x}\ge 0 pour x≥0x\ge 0, donc h′h' croît sur [0,+∞[[0,+\infty[ et h′(x)≥h′(0)=0h'(x)\ge h'(0)=0. Donc hh croît et h(x)≥h(0)=0h(x)\ge h(0)=0, c'est-à-dire e−x≤1−x+x22e^{-x}\le 1-x+\dfrac{x^2}{2}.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Qu'est-ce qu'une capitalisation continue ?

Un capital dont le taux de croissance instantané est constant : K(t) = K₀ e^(rt). C'est la limite des intérêts composés quand la période de capitalisation tend vers 0.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x.

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