Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac SGC

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. L'exponentielle est la version « temps continu » de la capitalisation : $K(t)=K_0\,e^{rt}$.

À l'épreuve

Résolution d'une équation $e^{ax}+\dots=0$ par le changement $X=e^{x}$, étude d'une fonction $x\mapsto (x+b)e^{x}$ ou $x\mapsto e^{-x}$, limites avec croissances comparées, et une inégalité démontrée par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Propriétés

e^{\ln a}=a

(

a>0

\ln(e^x)=x

e^{a+b}=e^a e^b

e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}

e^0=1

\exp

est strictement croissante et

>0

Limites

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0

Dérivée et convexité

(e^x)'=e^x

(e^{u})'=u'e^{u}

\exp

est convexe :

e^x\ge 1+x

pour tout

x

Changement de variable

Une équation polynomiale en

e^x

se résout en posant

X=e^x

(

X>0

), puis

x=\ln X

pour chaque racine positive.

Erreurs fréquentes

Oublier la contrainte X = eˣ > 0.

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{2x}-6e^{x}+8=0

Correction

On pose

X=e^{x}

X>0

. L'équation devient

X^2-6X+8=0

X^2-6X+8=(X-2)(X-4)=0

, donc

X=2

X=4

(toutes deux

>0

e^{x}=2 \iff x=\ln 2

;

e^{x}=4 \iff x=\ln 4

S=\{\ln 2,\ \ln 4\}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{2x+1}=e^{3}

Voir la correction

Par stricte croissance de

\exp

2x+1=3

, soit

x=1

Exercice 2

Moyen

Calculer

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x-3)e^{-x}

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-x)e^{x}

Voir la correction

(2x-3)e^{-x}=\dfrac{2x-3}{e^{x}}\to 0

par croissance comparée.

(x^2-x)e^{x}=x^2 e^{x}-x e^{x}\to 0

-\infty

(chaque terme tend vers

0

Exercice 3

Difficile

Montrer que pour tout

x\ge 0

e^{-x}\le 1-x+\dfrac{x^{2}}{2}

Voir la correction

Posons

h(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-e^{-x}

h(0)=0

h'(x)=-1+x+e^{-x}

h'(0)=0

h''(x)=1-e^{-x}\ge 0

pour

x\ge 0

, donc

h'

croît sur

[0,+\infty[

h'(x)\ge h'(0)=0

. Donc

h

croît et

h(x)\ge h(0)=0

, c'est-à-dire

e^{-x}\le 1-x+\dfrac{x^2}{2}

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Qu'est-ce qu'une capitalisation continue ?

Un capital dont le taux de croissance instantané est constant : K(t) = K₀ e^(rt). C'est la limite des intérêts composés quand la période de capitalisation tend vers 0.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x.