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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac SGC

Dériver, tracer une tangente, dresser un tableau de variations et lire la convexité — puis appliquer : coût marginal, coût de revient unitaire minimal, résultat maximal.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. La dérivation est l'outil d'optimisation : le coût marginal est $C'(x)$, l'optimum de production annule la dérivée du résultat, et la convexité traduit les rendements.

À l'épreuve

Une étude de fonction de gestion : coût marginal $C'(x)$, coût de revient unitaire $C(x)/x$ et son minimum (atteint quand coût marginal = coût unitaire), fonction de résultat $P(x)=R(x)-C(x)$ et son maximum, convexité et point d'inflexion.

Objectifs d'apprentissage

  • Dériver somme, produit, quotient et fonction composée
  • Déterminer l'équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
  • Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations
  • Identifier coût marginal C′(x) et relier coût unitaire minimal et coût marginal
  • Maximiser un résultat P(x) = R(x) − C(x) en annulant P′

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u).

Variations et extremums

f′>0⇒f'>0 \Rightarrow croissante, f′<0⇒f'<0 \Rightarrow décroissante. f′f' s'annule en changeant de signe ⇒\Rightarrow extremum local (optimum).

Coût marginal et coût unitaire

Coût marginal : Cm(x)=C′(x)Cm(x)=C'(x). Coût de revient unitaire : C(x)x\dfrac{C(x)}{x}. Ce dernier est minimal là où sa dérivée s'annule, ce qui équivaut à Cm(x)=C(x)xCm(x)=\dfrac{C(x)}{x}.

Convexité

f′′>0f''>0 : convexe ; f′′<0f''<0 : concave ; f′′f'' change de signe : point d'inflexion (bascule des rendements).

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

Les solutions de f(x)=kf(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe CfC_f avec la droite y=ky = k ; celles de f(x)>kf(x) > k sont les abscisses des points de CfC_f situés au-dessus de cette droite. De même, f(x)=g(x)f(x) = g(x) a pour solutions les abscisses des points d'intersection de CfC_f et CgC_g, et f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x) est vérifiée là où CfC_f est au-dessus de CgC_g. Une lecture graphique donne le nombre de solutions et une valeur approchée ; le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires permettent ensuite de le justifier.

Fonctions rationnelles et irrationnelles

Une fonction rationnelle f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} est définie là où Q(x)≠0Q(x) \ne 0 ; en ±∞\pm\infty, sa limite est celle du quotient des termes de plus haut degré. Exemple : f(x)=2x+1x−1f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1} est définie sur R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}, tend vers 2 en ±∞\pm\infty (asymptote y=2y = 2) et vers ±∞\pm\infty en 1 (asymptote x=1x = 1) ; f′(x)=−3(x−1)2<0f'(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0, elle est décroissante sur chaque intervalle. Une fonction irrationnelle du type f(x)=u(x)f(x) = \sqrt{u(x)} est définie là où u(x)≥0u(x) \ge 0, et dérivable là où u(x)>0u(x) > 0, avec f′(x)=u′(x)2u(x)f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} ; elle a le même sens de variation que uu.

Erreurs fréquentes

1
Oublier le facteur u′ en dérivant une composée.
2
Conclure « f′(a) = 0 donc optimum » sans le changement de signe de f′.
3
Confondre coût marginal C′(x) et coût de revient unitaire C(x)/x.
4
Oublier de vérifier que l'optimum est un maximum (et non un minimum).

Exemple corrigé

Énoncé

Le coût de production est C(x)=0,4x2+6x+90C(x)=0{,}4x^2+6x+90 pour x>0x>0. Déterminer le coût marginal, le coût de revient unitaire, puis la production qui minimise ce dernier.

Correction

Coût marginal : Cm(x)=C′(x)=0,8x+6Cm(x)=C'(x)=0{,}8x+6.
Coût unitaire : CU(x)=C(x)x=0,4x+6+90xCU(x)=\dfrac{C(x)}{x}=0{,}4x+6+\dfrac{90}{x}.
CU′(x)=0,4−90x2CU'(x)=0{,}4-\dfrac{90}{x^2}. CU′(x)=0  ⟺  x2=225  ⟺  x=15CU'(x)=0 \iff x^2=225 \iff x=15 (avec x>0x>0). CU′<0CU'<0 avant, CU′>0CU'>0 après : minimum en x=15x=15.
CU(15)=6+6+6=18CU(15)=6+6+6=18 et Cm(15)=12+6=18Cm(15)=12+6=18 : le coût unitaire est minimal quand il est égal au coût marginal.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Soit f(x)=3x−1x+2f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}. Calculer f′f' et l'équation de la tangente en x=1x=1.
Voir la correction
f′(x)=3(x+2)−(3x−1)(x+2)2=7(x+2)2f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}. f(1)=23f(1)=\dfrac{2}{3}, f′(1)=79f'(1)=\dfrac{7}{9}. Tangente : y=79(x−1)+23=79x−19y=\dfrac{7}{9}(x-1)+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{9}x-\dfrac{1}{9}.

Exercice 2

Moyen
Le coût est C(x)=2x3−12x2+30xC(x)=2x^3-12x^2+30x pour x≥0x\ge 0. Étudier la convexité de CC et interpréter le point d'inflexion.
Voir la correction
C′(x)=6x2−24x+30C'(x)=6x^2-24x+30, C′′(x)=12x−24=12(x−2)C''(x)=12x-24=12(x-2). C′′<0C''<0 sur [0,2[[0,2[ (concave), C′′>0C''>0 sur ]2,+∞[]2,+\infty[ (convexe). Point d'inflexion en x=2x=2 : au-delà, chaque unité supplémentaire coûte de plus en plus cher (rendements décroissants).

Exercice 3

Difficile
Le prix de vente unitaire est 2525 DH et le coût C(x)=0,4x2+5x+100C(x)=0{,}4x^2+5x+100. Déterminer la quantité x∗x^* qui maximise le résultat P(x)=25x−C(x)P(x)=25x-C(x) et la valeur de ce résultat.
Voir la correction
P(x)=25x−(0,4x2+5x+100)=−0,4x2+20x−100P(x)=25x-(0{,}4x^2+5x+100)=-0{,}4x^2+20x-100. P′(x)=−0,8x+20P'(x)=-0{,}8x+20 : P′(x)=0  ⟺  x=25P'(x)=0 \iff x=25, avec P′>0P'>0 avant et P′<0P'<0 après, donc maximum en x∗=25x^*=25. P(25)=−0,4×625+500−100=−250+500−100=150P(25)=-0{,}4\times 625+500-100=-250+500-100=150.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le coût marginal ?

La dérivée du coût total, C′(x) : le coût approché de la (x + 1)-ième unité produite. On l'oppose au coût de revient unitaire C(x)/x.

Pourquoi le coût unitaire est-il minimal quand il égale le coût marginal ?

En dérivant CU(x) = C(x)/x, on obtient CU′(x) = (Cm(x) − CU(x))/x. CU′ s'annule donc exactement quand Cm(x) = CU(x).

Comment maximiser un résultat ?

On écrit P(x) = R(x) − C(x), on résout P′(x) = 0, puis on vérifie par le signe de P′ que c'est bien un maximum.

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