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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Calcul intégral — Cours Maths Bac SGC

De la primitive à l'intégrale : propriétés, intégration par parties, valeur moyenne, et l'aire comme outil de gestion — le surplus du consommateur.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Le calcul intégral clôt l'analyse : il sert à cumuler une grandeur marginale sur un intervalle et à mesurer une aire (surplus, stock moyen).

À l'épreuve

Un calcul d'intégrale (dont une intégration par parties simple), une valeur moyenne, et le calcul d'un surplus du consommateur comme aire entre une courbe de demande et le prix.

Objectifs d'apprentissage

  • Relier intégrale et primitive : ∫ₐᵇ f(t) dt = F(b) − F(a)
  • Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité
  • Appliquer une intégration par parties simple
  • Calculer une valeur moyenne sur un intervalle
  • Calculer un surplus du consommateur comme aire

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b] : ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).

Propriétés

Linéarité, Chasles (∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c), positivité (si f≥0f\ge 0 alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge 0).

Intégration par parties

∫abu′v dt=[uv]ab−∫abuv′ dt\displaystyle\int_a^b u'v\,dt=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dt. Cas utiles : ∫ln⁡t dt\int\ln t\,dt et ∫t et dt\int t\,e^{t}\,dt.

Valeur moyenne et surplus

Valeur moyenne : μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f. Surplus du consommateur au prix p∗p^{*} (quantité q∗q^{*}) pour une demande p=d(q)p=d(q) : ∫0q∗d(q) dq−p∗q∗\displaystyle\int_0^{q^{*}}d(q)\,dq-p^{*}q^{*}.

Erreurs fréquentes

1

Écrire ∫ fg = (∫ f)(∫ g).

2

Oublier le crochet [uv]ₐᵇ dans une intégration par parties.

3

Oublier de retrancher p*·q* dans le surplus.

4

Confondre aire et intégrale quand la fonction change de signe.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer ∫01(x+1) ex dx\displaystyle\int_0^1(x+1)\,e^{x}\,dx.

Correction

Intégration par parties : u′(x)=exu'(x)=e^{x} et v(x)=x+1v(x)=x+1, donc u(x)=exu(x)=e^{x} et v′(x)=1v'(x)=1.
∫01(x+1)ex dx=[(x+1)ex]01−∫01ex dx\displaystyle\int_0^1(x+1)e^{x}\,dx=\big[(x+1)e^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}\,dx.
[(x+1)ex]01=2e−1\big[(x+1)e^{x}\big]_0^1=2e-1 et ∫01ex dx=e−1\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx=e-1.
∫01(x+1)ex dx=(2e−1)−(e−1)=e\displaystyle\int_0^1(x+1)e^{x}\,dx=(2e-1)-(e-1)=e.

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Exercice 1

Facile
Calculer ∫02(4x−1) dx\displaystyle\int_0^2(4x-1)\,dx et ∫1e3t dt\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{3}{t}\,dt.
Voir la correction
∫02(4x−1) dx=[2x2−x]02=8−2=6\displaystyle\int_0^2(4x-1)\,dx=\big[2x^2-x\big]_0^2=8-2=6. ∫1e3t dt=[3ln⁡t]1e=3\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{3}{t}\,dt=\big[3\ln t\big]_1^{e}=3.

Exercice 2

Moyen
Calculer ∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx.
Voir la correction
IPP : u′(x)=1u'(x)=1, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x, donc u(x)=xu(x)=x, v′(x)=1xv'(x)=\dfrac1x. ∫1eln⁡x dx=[xln⁡x]1e−∫1e1 dx=e−(e−1)=1\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx=\big[x\ln x\big]_1^{e}-\int_1^{e}1\,dx=e-(e-1)=1.

Exercice 3

Difficile
La fonction de demande est p=30−3qp=30-3q. Au prix d'équilibre p∗=12p^{*}=12, la quantité échangée est q∗=6q^{*}=6. Calculer le surplus du consommateur.
Voir la correction
Surplus =∫06(30−3q) dq−p∗q∗=[30q−1,5q2]06−12×6=(180−54)−72=126−72=54=\displaystyle\int_0^{6}(30-3q)\,dq-p^{*}q^{*}=\big[30q-1{,}5q^2\big]_0^{6}-12\times 6=(180-54)-72=126-72=54.

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Questions fréquentes

Quand utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant (ln t, tⁿ) et l'autre s'intègre facilement (eᵗ). Le cas ∫ ln x dx se traite avec u′ = 1 et v = ln x.

Qu'est-ce que le surplus du consommateur ?

L'écart entre ce que les consommateurs seraient prêts à payer (aire sous la courbe de demande jusqu'à q*) et ce qu'ils paient réellement (p*·q*).

Comment calcule-t-on une valeur moyenne ?

μ = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(t) dt : l'intégrale lisse la grandeur sur l'intervalle, par exemple un niveau de stock moyen.

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