Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac PC

Q: Pourquoi la période propre ne dépend-elle pas de l'amplitude ?

Parce que l'équation différentielle x''+\omega_0^2x=0 est linéaire : \omega_0=\sqrt{k/m} ne dépend que des paramètres physiques du système (masse, raideur), pas de la solution elle-même. C'est le trait caractéristique des petites oscillations harmoniques.

Q: Quelle est l'analogie entre l'oscillateur élastique et le circuit LC ?

Les deux équations sont identiques dans leur forme : x''+\omega_0^2x=0 pour le ressort, u_C''+\omega_0^2u_C=0 pour le circuit LC idéal. La masse joue le rôle de l'inductance L, la raideur k celui de 1/C : l'énergie cinétique/potentielle élastique correspond à l'énergie magnétique/électrique.

Q: Comment reconnaît-on un régime pseudo-périodique pour un oscillateur amorti ?

Quand le coefficient de frottement h est faible, le système oscille toujours mais avec une amplitude qui décroît progressivement (enveloppe exponentielle) : c'est le régime pseudo-périodique, analogue à celui d'un RLC faiblement résistif.

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre réinvestit les équations différentielles du second ordre vues en RLC (électricité) et en maths ($y''+\omega_0^2y=0$), dans un contexte purement mécanique — la même équation, deux systèmes physiques différents.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle du mouvement (RFD ou TMC selon le système), identifier la pulsation propre $\omega_0$, écrire la solution $x(t)$ ou $\theta(t)$ à partir des conditions initiales, et calculer la période propre $T_0$.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle d'un oscillateur élastique horizontal : $x''+\omega_0^2x=0$
Établir l'équation différentielle d'un pendule de torsion : $\theta''+\omega_0^2\theta=0$
Déterminer la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ pour chaque système
Écrire la solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ à partir des conditions initiales
Reconnaître l'analogie mathématique avec l'oscillateur électrique LC/RLC

Notions clés

Oscillateur élastique horizontal

Masse

m

accrochée à un ressort de raideur

k

, sans frottement. Le poids et la réaction du support se compensent ; seule la force de rappel

F=-kx

a une composante sur l'axe. RFD :

m\,x''=-kx

, soit

x''+\omega_0^2x=0

avec

\omega_0=\sqrt{k/m}

Pendule de torsion

Solide suspendu à un fil de torsion, de moment de rappel

M=-C\theta

(

C

= constante de torsion). TMC :

J\,\theta''=-C\theta

, soit

\theta''+\omega_0^2\theta=0

avec

\omega_0=\sqrt{C/J}

. Période propre :

T_0=2\pi\sqrt{J/C}

Amortissement

Avec un frottement fluide

f=-h\,x'

m\,x''+h\,x'+kx=0

— la même forme que l'équation d'un RLC série, avec les mêmes régimes (pseudo-périodique, critique, apériodique) selon

h

. Analogie :

m\leftrightarrow L

h\leftrightarrow R

k\leftrightarrow 1/C

La résonance mécanique

Lorsqu'un excitateur impose à un oscillateur (le résonateur) des oscillations forcées de période

T_e

, l'amplitude des oscillations dépend de

T_e

: elle est maximale quand

T_e

est voisine de la période propre

T_0

de l'oscillateur. C'est la résonance mécanique. Plus l'amortissement est faible, plus la résonance est aiguë (amplitude élevée, pic étroit) ; un amortissement important l'atténue. Elle est utile (caisse de résonance d'un instrument) ou dangereuse (pont ou machine mis en vibration) : on la limite alors par des amortisseurs.

Pendule simple et pendule pesant

Le pendule simple est une petite masse

m

suspendue à un fil inextensible de longueur

\ell

. Pour de petites oscillations,

\ddot\theta + \dfrac{g}{\ell}\,\theta = 0

, et la période propre vaut

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}

: elle ne dépend ni de la masse ni de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations). Le pendule pesant est un solide mobile autour d'un axe horizontal qui ne passe pas par son centre d'inertie

G

\ddot\theta + \dfrac{m g d}{J_\Delta}\,\theta = 0

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{m g d}}

, où

d

est la distance de

G

à l'axe. Exemple : un pendule simple de 1 m a une période

T_0 = 2\pi\sqrt{1/9{,}8} \approx 2{,}0

Erreurs fréquentes

Croire que la période propre

T_0

dépend de l'amplitude

X_m

\theta_m

: en régime harmonique (linéaire), elle en est indépendante.

Confondre la constante de raideur

k

(ressort, en

\text{N·m}^{-1}

) et la constante de torsion

C

(pendule de torsion, en

\text{N·m·rad}^{-1}

) : unités différentes.

Oublier que dans un système amorti, la pseudo-période

T

est légèrement supérieure à

T_0

Exemple corrigé

Énoncé

Un solide de masse

m=200\ \text{g}

est accroché à un ressort horizontal de raideur

k=8{,}0\ \text{N·m}^{-1}

, sans frottement. On l'écarte de

X_m=3{,}0\ \text{cm}

puis on le lâche sans vitesse initiale. Établir l'équation différentielle, donner

x(t)

et la période propre.

Correction

Équation différentielle. RFD sur l'axe :

m\,x''=-kx

, soit

x''+\dfrac{k}{m}x=0

, avec

\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{8{,}0/0{,}200}=\sqrt{40}\approx6{,}32\ \text{rad·s}^{-1}

Conditions initiales.

x(0)=X_m

x'(0)=0

(lâché sans vitesse initiale) donnent

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t)

Solution.

x(t)=3{,}0\cos(6{,}32\,t)

(en cm).

Période propre.

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}99\ \text{s}

(vérification :

T_0=2\pi\sqrt{m/k}\approx0{,}99\ \text{s}

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Physique-Chimie du Bac PC, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un ressort a

k=50\ \text{N·m}^{-1}

, la masse accrochée

m=0{,}50\ \text{kg}

. Calculer

\omega_0

T_0

Voir la correction

\omega_0=\sqrt{50/0{,}50}=\sqrt{100}=10\ \text{rad·s}^{-1}

T_0=\dfrac{2\pi}{10}\approx0{,}63\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Un pendule de torsion a une constante

C=2{,}0\times10^{-2}\ \text{N·m·rad}^{-1}

et un moment d'inertie

J=4{,}0\times10^{-4}\ \text{kg·m}^2

. Calculer sa période propre.

Voir la correction

\omega_0=\sqrt{C/J}=\sqrt{0{,}020/0{,}0004}=\sqrt{50}\approx7{,}07\ \text{rad·s}^{-1}

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}89\ \text{s}

Exercice 3

Difficile

Vérifier que

x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)

est solution de

x''+\omega_0^2x=0

quel que soit

\varphi

, puis déterminer

X_m

\varphi

pour un système lâché depuis

x(0)=0

avec

v(0)=0{,}20\ \text{m·s}^{-1}

(

\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}

Voir la correction

x'=-X_m\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)

x''=-X_m\omega_0^2\cos(\omega_0t+\varphi)=-\omega_0^2x

, donc

x''+\omega_0^2x=0

pour tout

\varphi

✓.

x(0)=X_m\cos\varphi=0\Rightarrow\varphi=\pm\pi/2

. Avec

\varphi=-\pi/2

x'(0)=X_m\omega_0=0{,}20\Rightarrow X_m=0{,}20/10=2{,}0\ \text{cm}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Pourquoi la période propre ne dépend-elle pas de l'amplitude ?

Parce que l'équation différentielle

x''+\omega_0^2x=0

est linéaire :

\omega_0=\sqrt{k/m}

ne dépend que des paramètres physiques du système (masse, raideur), pas de la solution elle-même. C'est le trait caractéristique des petites oscillations harmoniques.

Quelle est l'analogie entre l'oscillateur élastique et le circuit LC ?

Les deux équations sont identiques dans leur forme :

x''+\omega_0^2x=0

pour le ressort,

u_C''+\omega_0^2u_C=0

pour le circuit LC idéal. La masse joue le rôle de l'inductance

L

, la raideur

k

celui de

1/C

: l'énergie cinétique/potentielle élastique correspond à l'énergie magnétique/électrique.

Comment reconnaît-on un régime pseudo-périodique pour un oscillateur amorti ?

Quand le coefficient de frottement

h

est faible, le système oscille toujours mais avec une amplitude qui décroît progressivement (enveloppe exponentielle) : c'est le régime pseudo-périodique, analogue à celui d'un RLC faiblement résistif.