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Physique-Chimie · Bac PC · Coefficient 7

Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac PC

Une masse accrochée à un ressort, un pendule de torsion : deux oscillateurs mécaniques dont l'équation différentielle est la même que celle d'un circuit LC — un aller-retour permanent entre deux formes d'énergie.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre réinvestit les équations différentielles du second ordre vues en RLC (électricité) et en maths ($y''+\omega_0^2y=0$), dans un contexte purement mécanique — la même équation, deux systèmes physiques différents.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle du mouvement (RFD ou TMC selon le système), identifier la pulsation propre $\omega_0$, écrire la solution $x(t)$ ou $\theta(t)$ à partir des conditions initiales, et calculer la période propre $T_0$.

Objectifs d'apprentissage

  • Établir l'équation différentielle d'un oscillateur élastique horizontal : $x''+\omega_0^2x=0$
  • Établir l'équation différentielle d'un pendule de torsion : $\theta''+\omega_0^2\theta=0$
  • Déterminer la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ pour chaque système
  • Écrire la solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ à partir des conditions initiales
  • Reconnaître l'analogie mathématique avec l'oscillateur électrique LC/RLC

Notions clés

Oscillateur élastique horizontal

Masse mm accrochée à un ressort de raideur kk, sans frottement. Le poids et la réaction du support se compensent ; seule la force de rappel F=−kxF=-kx a une composante sur l'axe. RFD : m x′′=−kxm\,x''=-kx, soit x′′+ω02x=0x''+\omega_0^2x=0 avec ω0=k/m\omega_0=\sqrt{k/m}.

Pendule de torsion

Solide suspendu à un fil de torsion, de moment de rappel M=−CθM=-C\theta (CC = constante de torsion). TMC : J θ′′=−CθJ\,\theta''=-C\theta, soit θ′′+ω02θ=0\theta''+\omega_0^2\theta=0 avec ω0=C/J\omega_0=\sqrt{C/J}. Période propre : T0=2πJ/CT_0=2\pi\sqrt{J/C}.

Amortissement

Avec un frottement fluide f=−h x′f=-h\,x' : m x′′+h x′+kx=0m\,x''+h\,x'+kx=0 — la même forme que l'équation d'un RLC série, avec les mêmes régimes (pseudo-périodique, critique, apériodique) selon hh. Analogie : m↔Lm\leftrightarrow L, h↔Rh\leftrightarrow R, k↔1/Ck\leftrightarrow 1/C.

Erreurs fréquentes

1

Croire que la période propre $T_0$ dépend de l'amplitude $X_m$ ou $\theta_m$ : en régime harmonique (linéaire), elle en est indépendante.

2

Confondre la constante de raideur $k$ (ressort, en $\text{N·m}^{-1}$) et la constante de torsion $C$ (pendule de torsion, en $\text{N·m·rad}^{-1}$) : unités différentes.

3

Oublier que dans un système amorti, la pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à $T_0$.

Exemple corrigé

Énoncé

Un solide de masse m=200 gm=200\ \text{g} est accroché à un ressort horizontal de raideur k=8,0 N\cdotpm−1k=8{,}0\ \text{N·m}^{-1}, sans frottement. On l'écarte de Xm=3,0 cmX_m=3{,}0\ \text{cm} puis on le lâche sans vitesse initiale. Établir l'équation différentielle, donner x(t)x(t) et la période propre.

Correction

Équation différentielle. RFD sur l'axe : m x′′=−kxm\,x''=-kx, soit x′′+kmx=0x''+\dfrac{k}{m}x=0, avec ω0=k/m=8,0/0,200=40≈6,32 rad\cdotps−1\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{8{,}0/0{,}200}=\sqrt{40}\approx6{,}32\ \text{rad·s}^{-1}.
Conditions initiales. x(0)=Xmx(0)=X_m et x′(0)=0x'(0)=0 (lâché sans vitesse initiale) donnent x(t)=Xmcos⁡(ω0t)x(t)=X_m\cos(\omega_0 t).
Solution. x(t)=3,0cos⁡(6,32 t)x(t)=3{,}0\cos(6{,}32\,t) (en cm).
Période propre. T0=2πω0≈0,99 sT_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}99\ \text{s} (vérification : T0=2πm/k≈0,99 sT_0=2\pi\sqrt{m/k}\approx0{,}99\ \text{s}).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Un ressort a k=50 N\cdotpm−1k=50\ \text{N·m}^{-1}, la masse accrochée m=0,50 kgm=0{,}50\ \text{kg}. Calculer ω0\omega_0 et T0T_0.
Voir la correction
ω0=50/0,50=100=10 rad\cdotps−1\omega_0=\sqrt{50/0{,}50}=\sqrt{100}=10\ \text{rad·s}^{-1}. T0=2π10≈0,63 sT_0=\dfrac{2\pi}{10}\approx0{,}63\ \text{s}.

Exercice 2

Moyen
Un pendule de torsion a une constante C=2,0×10−2 N\cdotpm\cdotprad−1C=2{,}0\times10^{-2}\ \text{N·m·rad}^{-1} et un moment d'inertie J=4,0×10−4 kg\cdotpm2J=4{,}0\times10^{-4}\ \text{kg·m}^2. Calculer sa période propre.
Voir la correction
ω0=C/J=0,020/0,0004=50≈7,07 rad\cdotps−1\omega_0=\sqrt{C/J}=\sqrt{0{,}020/0{,}0004}=\sqrt{50}\approx7{,}07\ \text{rad·s}^{-1}. T0=2πω0≈0,89 sT_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}89\ \text{s}.

Exercice 3

Difficile
Vérifier que x(t)=Xmcos⁡(ω0t+φ)x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi) est solution de x′′+ω02x=0x''+\omega_0^2x=0 quel que soit φ\varphi, puis déterminer XmX_m et φ\varphi pour un système lâché depuis x(0)=0x(0)=0 avec v(0)=0,20 m\cdotps−1v(0)=0{,}20\ \text{m·s}^{-1} (ω0=10 rad\cdotps−1\omega_0=10\ \text{rad·s}^{-1}).
Voir la correction
x′=−Xmω0sin⁡(ω0t+φ)x'=-X_m\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi), x′′=−Xmω02cos⁡(ω0t+φ)=−ω02xx''=-X_m\omega_0^2\cos(\omega_0t+\varphi)=-\omega_0^2x, donc x′′+ω02x=0x''+\omega_0^2x=0 pour tout φ\varphi ✓. x(0)=Xmcos⁡φ=0⇒φ=±π/2x(0)=X_m\cos\varphi=0\Rightarrow\varphi=\pm\pi/2. Avec φ=−π/2\varphi=-\pi/2 : x′(0)=Xmω0=0,20⇒Xm=0,20/10=2,0 cmx'(0)=X_m\omega_0=0{,}20\Rightarrow X_m=0{,}20/10=2{,}0\ \text{cm}.

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Questions fréquentes

Pourquoi la période propre ne dépend-elle pas de l'amplitude ?

Parce que l'équation différentielle $x''+\omega_0^2x=0$ est linéaire : $\omega_0=\sqrt{k/m}$ ne dépend que des paramètres physiques du système (masse, raideur), pas de la solution elle-même. C'est le trait caractéristique des petites oscillations harmoniques.

Quelle est l'analogie entre l'oscillateur élastique et le circuit LC ?

Les deux équations sont identiques dans leur forme : $x''+\omega_0^2x=0$ pour le ressort, $u_C''+\omega_0^2u_C=0$ pour le circuit LC idéal. La masse joue le rôle de l'inductance $L$, la raideur $k$ celui de $1/C$ : l'énergie cinétique/potentielle élastique correspond à l'énergie magnétique/électrique.

Comment reconnaît-on un régime pseudo-périodique pour un oscillateur amorti ?

Quand le coefficient de frottement $h$ est faible, le système oscille toujours mais avec une amplitude qui décroît progressivement (enveloppe exponentielle) : c'est le régime pseudo-périodique, analogue à celui d'un RLC faiblement résistif.

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