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Physique-Chimie · Bac PC · Coefficient 7

Atome et mécanique de Newton — Cours Physique Bac PC

Peut-on appliquer les lois de Newton à l'électron en orbite autour du noyau, comme à un satellite ? Le modèle classique donne des résultats cohérents… jusqu'à révéler sa propre limite : il prédit un atome instable, en contradiction avec la réalité.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Dernier chapitre du bloc mécanique (8 chapitres sur 30), il referme la boucle ouverte par les satellites en appliquant la même méthode — RFD, mouvement circulaire, force en $1/r^2$ — à l'échelle atomique, avant d'en montrer la limite.

À l'épreuve

L'exercice reprend la méthode du satellite mais avec la force électrostatique de Coulomb entre l'électron et le noyau : RFD en mouvement circulaire uniforme, expression de la vitesse et de l'énergie mécanique de l'électron en fonction du rayon de l'orbite, puis discussion qualitative des limites de la mécanique classique.

Objectifs d'apprentissage

  • Appliquer la RFD à l'électron en orbite circulaire, soumis à la force électrostatique de Coulomb
  • Établir la vitesse de l'électron en fonction du rayon de son orbite
  • Exprimer l'énergie mécanique de l'électron sur une orbite circulaire et discuter son signe
  • Identifier les limites de la mécanique classique à l'échelle atomique (instabilité radiative)

Notions clés

Force électrostatique de Coulomb

Entre l'électron (charge −e-e) et le proton (charge +e+e) : F=ke2r2F=k\dfrac{e^2}{r^2}, attractive, dirigée vers le noyau (k=14πε0≈8,99×109 N\cdotpm2\cdotpC−2k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}99\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}, e=1,6×10−19 Ce=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}). Même forme en 1/r21/r^2 que la gravitation, mais d'origine électrique et incomparablement plus intense à cette échelle.

RFD appliquée à l'électron

Mouvement circulaire uniforme, comme pour un satellite : ke2r2=mev2r⇒v=ekmerk\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{m_ev^2}{r}\Rightarrow v=e\sqrt{\dfrac{k}{m_er}}. Énergie cinétique Ec=12mev2=ke22rE_c=\dfrac{1}{2}m_ev^2=k\dfrac{e^2}{2r}, énergie potentielle électrostatique Ep=−ke2rE_p=-k\dfrac{e^2}{r}, énergie mécanique totale Em=Ec+Ep=−ke22r<0E_m=E_c+E_p=-k\dfrac{e^2}{2r}<0 (état lié).

Limite de la mécanique classique

Une charge accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique (résultat de l'électromagnétisme classique). L'électron en orbite, constamment accéléré, perdrait ainsi de l'énergie et s'écraserait sur le noyau en un temps extrêmement court — en contradiction avec la stabilité observée de l'atome. Cette contradiction impose une théorie non classique : la mécanique quantique.

Spectres de raies et relation ΔE=hν\Delta E = h\nu

Les niveaux d'énergie d'un atome sont quantifiés. Quand l'atome passe d'un niveau EpE_p à un niveau inférieur EnE_n, il émet un photon de fréquence ν\nu telle que ΔE=Ep−En=hν=hcλ\Delta E = E_p - E_n = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}, où h=6,63×10−34h = 6{,}63\times10^{-34} J·s est la constante de Planck. Chaque transition donne une raie : le spectre d'émission d'un gaz est un spectre de raies, caractéristique de l'élément ; son spectre d'absorption présente des raies noires aux mêmes longueurs d'onde. Pour l'hydrogène, En=−13,6n2E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2} eV : la transition du niveau 3 au niveau 2 libère ΔE=13,6(14−19)≈1,89\Delta E = 13{,}6\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9}\right) \approx 1{,}89 eV, soit λ=hcΔE≈657\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E} \approx 657 nm, la raie rouge de l'hydrogène.

Erreurs fréquentes

1
Utiliser la force de gravitation entre l'électron et le noyau : à cette échelle, elle est totalement négligeable devant la force électrostatique.
2
Oublier le signe négatif de l'énergie mécanique : Em<0E_m<0 signifie que l'électron est lié au noyau (il faut fournir de l'énergie pour l'en séparer).
3
Croire que le modèle classique de l'électron en orbite circulaire est validé par l'expérience : il prédit au contraire une instabilité radiative que l'expérience contredit — c'est précisément sa limite.

Exemple corrigé

Énoncé

Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'électron (me=9,1×10−31 kgm_e=9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}) décrit une orbite circulaire de rayon r=5,3×10−11 mr=5{,}3\times10^{-11}\ \text{m} (rayon de Bohr) autour du proton. Calculer sa vitesse et son énergie mécanique (k=8,99×109 N\cdotpm2\cdotpC−2k=8{,}99\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}, e=1,6×10−19 Ce=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}).

Correction

RFD. La force de Coulomb joue le rôle de force centripète : ke2r2=mev2r⇒v=ekmerk\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{m_ev^2}{r}\Rightarrow v=e\sqrt{\dfrac{k}{m_er}}.
Vitesse. v=1,6×10−198,99×1099,1×10−31×5,3×10−11≈2,18×106 m\cdotps−1v=1{,}6\times10^{-19}\sqrt{\dfrac{8{,}99\times10^{9}}{9{,}1\times10^{-31}\times5{,}3\times10^{-11}}}\approx2{,}18\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}.
Énergie mécanique. Em=−ke22r≈−2,17×10−18 J≈−13,6 eVE_m=-k\dfrac{e^2}{2r}\approx-2{,}17\times10^{-18}\ \text{J}\approx-13{,}6\ \text{eV} (avec 1 eV=1,6×10−19 J1\ \text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}) — la valeur bien connue de l'énergie de l'état fondamental de l'hydrogène.

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Exercice 1

Facile
Calculer la force de Coulomb entre l'électron et le proton à la distance r=5,3×10−11 mr=5{,}3\times10^{-11}\ \text{m}.
Voir la correction
F=ke2r2=8,99×109×(1,6×10−19)2(5,3×10−11)2≈8,2×10−8 NF=k\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{8{,}99\times10^{9}\times(1{,}6\times10^{-19})^2}{(5{,}3\times10^{-11})^2}\approx8{,}2\times10^{-8}\ \text{N}.

Exercice 2

Moyen
Sachant que Ec=ke22rE_c=k\dfrac{e^2}{2r} et Ep=−ke2rE_p=-k\dfrac{e^2}{r}, montrer que Ec=−EmE_c=-E_m (relation du viriel).
Voir la correction
Ep=−2EcE_p=-2E_c (par comparaison directe des expressions), donc Em=Ec+Ep=Ec−2Ec=−EcE_m=E_c+E_p=E_c-2E_c=-E_c, soit Ec=−EmE_c=-E_m (et Ep=2EmE_p=2E_m).

Exercice 3

Difficile
L'électron en orbite, classiquement, rayonne de l'énergie et perd progressivement de l'altitude. Expliquer pourquoi ce modèle prédit l'effondrement de l'atome, et pourquoi ce n'est pas observé.
Voir la correction
Comme Em=−ke22rE_m=-k\dfrac{e^2}{2r}, une perte d'énergie (EmE_m devient plus négative) correspond à une diminution de rr : l'électron rayonnant en continu, il spirale vers le noyau en un temps extrêmement court (de l'ordre de 10−11 s10^{-11}\ \text{s} dans ce modèle). Comme les atomes sont stables, ce résultat classique est faux : la mécanique classique est inadaptée à cette échelle, et seule la mécanique quantique (quantification des niveaux d'énergie, absence de rayonnement sur une orbite stationnaire) rend compte de la stabilité réelle de l'atome.

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Questions fréquentes

Pourquoi peut-on négliger la gravitation entre l'électron et le proton ?

La force gravitationnelle entre l'électron et le proton est de plusieurs dizaines d'ordres de grandeur plus faible que la force électrostatique à cette distance : elle est totalement négligeable dans l'étude du mouvement de l'électron.

Que signifie une énergie mécanique négative pour l'électron ?

Cela signifie que l'électron est dans un état lié : il faut lui fournir de l'énergie (au moins ∣Em∣|E_m|, l'énergie d'ionisation) pour l'arracher du noyau et l'amener à une énergie mécanique nulle, à distance infinie.

Pourquoi ce modèle classique de l'atome est-il finalement insuffisant ?

Parce qu'il prédit un rayonnement continu de l'électron accéléré, donc une perte d'énergie et un effondrement de l'atome en un temps très court — en contradiction totale avec la stabilité observée. Cette limite historique a motivé les postulats de Bohr, puis la mécanique quantique.

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