Aspects énergétiques des oscillations mécaniques — Cours Physique Bac PC

Q: Quelle relation relie amplitude, pulsation propre et vitesse maximale ?

$V_{max}=X_m\,\omega_0$ : plus l'amplitude ou la pulsation propre sont grandes, plus la vitesse au passage par l'équilibre est élevée. Cette relation se retrouve en combinant $E_m=\frac{1}{2}kX_m^2=\frac{1}{2}mV_{max}^2$ avec $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre clôt l'étude des oscillateurs mécaniques en reprenant, sous l'angle énergétique, l'équation différentielle établie au chapitre précédent — la même démarche de conservation/dissipation déjà vue pour le circuit RLC.

À l'épreuve

Calculer l'énergie mécanique à partir de l'amplitude ou de la vitesse maximale, démontrer sa conservation par dérivation en s'appuyant sur l'équation différentielle, ou discuter qualitativement sa décroissance en présence de frottement.

Objectifs d'apprentissage

Exprimer l'énergie cinétique $E_c=\dfrac{1}{2}mv^2$ et l'énergie potentielle élastique $E_p=\dfrac{1}{2}kx^2$
Démontrer, par dérivation, la conservation de l'énergie mécanique en l'absence de frottement
Relier amplitude $X_m$, pulsation propre $\omega_0$ et vitesse maximale : $V_{max}=X_m\,\omega_0$
Identifier les instants où $E_c$ et $E_p$ sont extrémales
Discuter qualitativement la dissipation de l'énergie mécanique en présence de frottement

Notions clés

Énergie cinétique et potentielle élastique

Énergie cinétique :

E_c=\dfrac{1}{2}mv^2

(ou

\dfrac{1}{2}J\omega^2

pour une rotation). Énergie potentielle élastique :

E_p=\dfrac{1}{2}kx^2

(ou

\dfrac{1}{2}C\theta^2

pour un pendule de torsion).

Conservation de l'énergie mécanique

E_m=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2

. En dérivant et en utilisant

mx''+kx=0

\dfrac{dE_m}{dt}=v(mx''+kx)=0

—

E_m

est constante. À l'amplitude max (

v=0

) :

E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^2

; au passage à l'équilibre (

x=0

) :

E_m=\dfrac{1}{2}mV_{max}^2

, d'où

V_{max}=X_m\omega_0

Dissipation en présence de frottement

Avec un frottement

f=-h\,v

\dfrac{dE_m}{dt}=-h\,v^2<0

(puissance dissipée par frottement).

E_m

décroît, l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps — l'analogue mécanique de l'effet Joule dans un circuit RLC.

Erreurs fréquentes

Croire que l'énergie cinétique est maximale à l'amplitude maximale : c'est l'inverse — $E_c$ est maximale au passage par la position d'équilibre ($x=0$) et nulle aux points de rebroussement ($x=\pm X_m$).

Affirmer la conservation de $E_m$ sans la démontrer par dérivation à partir de l'équation différentielle.

Confondre l'énergie potentielle élastique $\dfrac{1}{2}kx^2$ avec l'énergie potentielle de pesanteur $mgz$.

Exemple corrigé

Énoncé

Un solide de masse

m=200\ \text{g}

oscille sans frottement au bout d'un ressort de raideur

k=8{,}0\ \text{N·m}^{-1}

, avec une amplitude

X_m=3{,}0\ \text{cm}

. Calculer l'énergie mécanique, puis la vitesse maximale.

Correction

Énergie mécanique. À l'amplitude maximale,

v=0

E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^2=0{,}5\times8{,}0\times(0{,}030)^2=3{,}6\times10^{-3}\ \text{J}

Vitesse maximale. Au passage à l'équilibre,

x=0

E_m=\dfrac{1}{2}mV_{max}^2

, donc

V_{max}=\sqrt{\dfrac{2E_m}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times3{,}6\times10^{-3}}{0{,}200}}\approx0{,}19\ \text{m·s}^{-1}

Vérification.

V_{max}=X_m\omega_0=0{,}030\times\sqrt{8{,}0/0{,}200}=0{,}030\times6{,}32\approx0{,}19\ \text{m·s}^{-1}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un ressort

k=50\ \text{N·m}^{-1}

porte une masse

m=0{,}50\ \text{kg}

oscillant avec

X_m=4{,}0\ \text{cm}

. Calculer l'énergie mécanique.

Voir la correction

E_m=\dfrac{1}{2}kX_m^2=0{,}5\times50\times(0{,}040)^2=0{,}040\ \text{J}

Exercice 2

Moyen

Pour le système précédent, calculer la vitesse maximale du solide.

Voir la correction

V_{max}=\sqrt{\dfrac{2E_m}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times0{,}040}{0{,}50}}=\sqrt{0{,}16}=0{,}40\ \text{m·s}^{-1}

Exercice 3

Difficile

Montrer, en dérivant

E_m=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2

et en utilisant

mx''+kx=0

, que

E_m

est constante.

Voir la correction

\dfrac{dE_m}{dt}=m\,v\,v'+k\,x\,x'=v(m\,x''+k\,x)

(car

v'=x''

v=x'

). Or

mx''+kx=0

, donc

\dfrac{dE_m}{dt}=v\times0=0

E_m

est constante.

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Questions fréquentes

À quel instant l'énergie cinétique est-elle maximale ?

Au passage par la position d'équilibre ($x=0$), où toute l'énergie mécanique est sous forme cinétique. Aux points de rebroussement ($x=\pm X_m$), la vitesse est nulle et toute l'énergie est potentielle élastique.

Comment l'énergie mécanique évolue-t-elle en présence de frottement ?

Elle décroît continûment ($dE_m/dt=-hv^2<0$), dissipée en chaleur par le frottement. L'amplitude des oscillations diminue progressivement (enveloppe exponentielle) jusqu'à l'arrêt du système, exactement comme la charge oscillante d'un RLC amorti.

Quelle relation relie amplitude, pulsation propre et vitesse maximale ?

$V_{max}=X_m\,\omega_0$ : plus l'amplitude ou la pulsation propre sont grandes, plus la vitesse au passage par l'équilibre est élevée. Cette relation se retrouve en combinant $E_m=\frac{1}{2}kX_m^2=\frac{1}{2}mV_{max}^2$ avec $\omega_0=\sqrt{k/m}$.