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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Limites et continuité — Cours Maths Bac Éco

Calculer une limite, lever une forme indéterminée, déterminer les asymptotes d'une courbe (par exemple un coût moyen à long terme) et exploiter la continuité via le TVI.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Les limites ouvrent le programme d'analyse et servent à décrire le comportement à long terme d'une fonction de coût, de recette ou de production.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction : recherche des asymptotes d'un coût moyen $C(x)/x$, comportement en $+\infty$ d'une fonction économique, et usage du TVI pour justifier l'existence d'un seuil (de rentabilité, d'équilibre).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ par factorisation ou terme dominant
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique d'une courbe
  • Interpréter une asymptote en contexte économique (coût moyen limite, saturation)
  • Appliquer le TVI pour justifier l'existence d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0. Pour une fonction rationnelle, la limite en +∞+\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty : on factorise par le terme dominant ou on simplifie une fraction après factorisation du numérateur et du dénominateur.

Asymptotes et interprétation

Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡+∞f=ℓ\lim_{+\infty}f=\ell ; oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡+∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0. Pour un coût moyen CM(x)=C(x)xCM(x)=\dfrac{C(x)}{x}, l'asymptote donne le coût unitaire de long terme.

TVI

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk est entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k a au moins une solution ; si ff est de plus strictement monotone, elle est unique.

Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone

Si ff est continue et strictement monotone sur un intervalle II, elle réalise une bijection de II sur l'intervalle J=f(I)J = f(I) : tout yy de JJ a un unique antécédent xx dans II. Sa fonction réciproque f−1f^{-1} est définie sur JJ par f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y) = x \iff f(x) = y ; elle est continue sur JJ et a le même sens de variation que ff. Dans un repère orthonormé, les courbes de ff et de f−1f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite y=xy = x. Exemple : f(x)=x2f(x) = x^2 est continue et strictement croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[, sa réciproque est f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}.

Erreurs fréquentes

1
Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : forme indéterminée à lever.
2
Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité.
3
Conclure à l'unicité d'un seuil sans la stricte monotonie.
4
Confondre la limite du coût moyen et celle du coût total.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞2x2+3xx2−1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1} puis lim⁡x→1x2−1x−1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}.

Correction

Première limite. Quotient des termes de plus haut degré : 2x2x2=2\dfrac{2x^2}{x^2}=2, donc lim⁡x→+∞2x2+3xx2−1=2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1}=2.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. On factorise : x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1).
Pour x≠1x\neq 1 : x2−1x−1=x+1\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1.
Donc lim⁡x→1x2−1x−1=2\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞5x2−2xx2+4\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2-2x}{x^2+4} et lim⁡x→+∞3x+1x2+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+1}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 5x2x2→5\dfrac{5x^2}{x^2}\to 5 ; 3xx2=3x→0\dfrac{3x}{x^2}=\dfrac{3}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Le coût total est C(x)=0,5x2+20x+800C(x)=0{,}5x^2+20x+800 pour x>0x>0 unités. Déterminer l'asymptote oblique du coût moyen CM(x)=C(x)xCM(x)=\dfrac{C(x)}{x} et l'interpréter.
Voir la correction
CM(x)=0,5x+20+800xCM(x)=0{,}5x+20+\dfrac{800}{x}. Comme 800x→0\dfrac{800}{x}\to 0, la droite y=0,5x+20y=0{,}5x+20 est asymptote oblique en +∞+\infty. Interprétation : à grande échelle, le coût unitaire croît quasi linéairement, la part des coûts fixes (800800) devenant négligeable.

Exercice 3

Difficile
La recette est R(x)=30xR(x)=30x et le coût C(x)=x2+6x+90C(x)=x^2+6x+90. Montrer que l'équation R(x)=C(x)R(x)=C(x) admet une unique solution x0>0x_0>0 (seuil de rentabilité), et que 4<x0<54<x_0<5.
Voir la correction
Posons g(x)=R(x)−C(x)=−x2+24x−90g(x)=R(x)-C(x)=-x^2+24x-90 pour x≥0x\ge 0. gg est continue ; g′(x)=−2x+24g'(x)=-2x+24, donc gg croît sur [0,12][0,12] puis décroît. g(0)=−90<0g(0)=-90<0, g(4)=−16+96−90=−10<0g(4)=-16+96-90=-10<0, g(5)=−25+120−90=5>0g(5)=-25+120-90=5>0 : sur [4,5][4,5], gg est strictement croissante (car 4<124<12) et change de signe, donc par le TVI il existe un unique x0∈ ]4,5[x_0\in\,]4,5[ tel que g(x0)=0g(x_0)=0, c'est-à-dire R(x0)=C(x0)R(x_0)=C(x_0).

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en +∞ ?

On garde le quotient des termes de plus haut degré : degrés égaux → quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand → +∞ ; plus petit → 0.

Comment interpréter une asymptote en économie ?

L'asymptote d'un coût moyen décrit le coût unitaire quand la production devient très grande ; une asymptote horizontale d'une fonction de demande ou de part de marché traduit une saturation.

À quoi sert le TVI en Bac Éco ?

À prouver l'existence d'un seuil (rentabilité, équilibre) : une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois sur l'intervalle.

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