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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac Éco

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. L'exponentielle modélise les croissances (ou décroissances) à taux instantané constant : capitalisation continue, dépréciation d'un actif.

À l'épreuve

Résolution d'une équation $e^{ax}+\dots=0$ par le changement $X=e^{x}$, étude d'une fonction $x\mapsto (x+b)e^{x}$ ou $x\mapsto e^{-x}$, limites avec croissances comparées, et une inégalité démontrée par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité (eˣ ≥ 1 + x) par étude de la fonction

Notions clés

Propriétés

eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}, e0=1e^0=1. exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0.

Limites

lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+, lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0.

Dérivée et convexité

(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe : ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Changement de variable

Une équation polynomiale en exe^x se résout en posant X=exX=e^x (avec X>0X>0), puis x=ln⁡Xx=\ln X pour chaque racine positive.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant par changement de variable.

2

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.

3

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

4

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−5ex+4=0e^{2x}-5e^{x}+4=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−5X+4=0X^2-5X+4=0.
X2−5X+4=(X−1)(X−4)=0X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0, donc X=1X=1 ou X=4X=4 (toutes deux >0>0).
ex=1  ⟺  x=0e^{x}=1 \iff x=0 ; ex=4  ⟺  x=ln⁡4e^{x}=4 \iff x=\ln 4.
S={0, ln⁡4}S=\{0,\ \ln 4\}.

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Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−3=ee^{2x-3}=e.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 2x−3=12x-3=1, soit x=2x=2.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(x+2)e−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+2)e^{-x} et lim⁡x→−∞x2ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^{x}.
Voir la correction
(x+2)e−x=x+2ex→0(x+2)e^{-x}=\dfrac{x+2}{e^{x}}\to 0 par croissance comparée. x2ex→0x^2 e^{x}\to 0 en −∞-\infty (poser x=−ux=-u, u→+∞u\to+\infty : u2e−u→0u^2 e^{-u}\to 0).

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout réel xx : ex≥1+xe^{x}\ge 1+x.
Voir la correction
Posons g(x)=ex−1−xg(x)=e^{x}-1-x. g′(x)=ex−1g'(x)=e^{x}-1, qui est <0<0 pour x<0x<0 et >0>0 pour x>0x>0. Donc gg décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0], croît sur [0,+∞[[0,+\infty[, avec un minimum g(0)=0g(0)=0. Ainsi g(x)≥0g(x)\ge 0 pour tout xx, c'est-à-dire ex≥1+xe^{x}\ge 1+x.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Qu'est-ce qu'une croissance « continue » ?

Une grandeur dont le taux de variation instantané est proportionnel à elle-même : elle s'écrit K(t) = K₀ e^(rt). C'est la version « temps continu » des intérêts composés.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x.

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