OrkaOrka/Bac/Sciences Économiques (Éco)
Commencer
Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac Éco

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. L'exponentielle modélise les croissances (ou décroissances) à taux instantané constant : capitalisation continue, dépréciation d'un actif.

À l'épreuve

Résolution d'une équation $e^{ax}+\dots=0$ par le changement $X=e^{x}$, étude d'une fonction $x\mapsto (x+b)e^{x}$ ou $x\mapsto e^{-x}$, limites avec croissances comparées, et une inégalité démontrée par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité (eˣ ≥ 1 + x) par étude de la fonction

Notions clés

Propriétés

eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}, e0=1e^0=1. exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0.

Limites

lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+, lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0.

Dérivée et convexité

(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe : ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Changement de variable

Une équation polynomiale en exe^x se résout en posant X=exX=e^x (avec X>0X>0), puis x=ln⁡Xx=\ln X pour chaque racine positive.

Erreurs fréquentes

1
Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant par changement de variable.
2
Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.
3
Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.
4
Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−5ex+4=0e^{2x}-5e^{x}+4=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−5X+4=0X^2-5X+4=0.
X2−5X+4=(X−1)(X−4)=0X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0, donc X=1X=1 ou X=4X=4 (toutes deux >0>0).
ex=1  ⟺  x=0e^{x}=1 \iff x=0 ; ex=4  ⟺  x=ln⁡4e^{x}=4 \iff x=\ln 4.
S={0, ln⁡4}S=\{0,\ \ln 4\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Mathématiques du Bac Éco, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−3=ee^{2x-3}=e.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 2x−3=12x-3=1, soit x=2x=2.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(x+2)e−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+2)e^{-x} et lim⁡x→−∞x2ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^{x}.
Voir la correction
(x+2)e−x=x+2ex→0(x+2)e^{-x}=\dfrac{x+2}{e^{x}}\to 0 par croissance comparée. x2ex→0x^2 e^{x}\to 0 en −∞-\infty (poser x=−ux=-u, u→+∞u\to+\infty : u2e−u→0u^2 e^{-u}\to 0).

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout réel xx : ex≥1+xe^{x}\ge 1+x.
Voir la correction
Posons g(x)=ex−1−xg(x)=e^{x}-1-x. g′(x)=ex−1g'(x)=e^{x}-1, qui est <0<0 pour x<0x<0 et >0>0 pour x>0x>0. Donc gg décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0], croît sur [0,+∞[[0,+\infty[, avec un minimum g(0)=0g(0)=0. Ainsi g(x)≥0g(x)\ge 0 pour tout xx, c'est-à-dire ex≥1+xe^{x}\ge 1+x.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Qu'est-ce qu'une croissance « continue » ?

Une grandeur dont le taux de variation instantané est proportionnel à elle-même : elle s'écrit K(t) = K₀ e^(rt). C'est la version « temps continu » des intérêts composés.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x.

À lire aussi

Fonctions logarithmiques — Bac ÉcoDérivation et étude des fonctions — Bac ÉcoProgramme de Mathématiques Bac Éco