Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac Agro

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 5 en Bac Sciences Agronomiques. Équivalent mécanique des oscillations électriques : même équation $\ddot x+\omega_0^{2}x=0$ qu'en Mathématiques (coefficient 7), avec la solution sinusoïdale à retrouver. L'isochronisme des petites oscillations est un attendu.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle du mouvement, identifier ω₀, vérifier x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ), calculer T₀ et discuter ce dont elle dépend, puis interpréter un enregistrement amorti (pseudo-période) ou une courbe de résonance.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique horizontal
Vérifier que x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ) est solution et identifier ω₀ = √(k/m)
Donner la période propre du pendule simple aux petites oscillations
Énoncer l'isochronisme des petites oscillations
Distinguer oscillations libres, amorties (pseudo-période) et forcées (résonance)

Notions clés

Pendule élastique horizontal

Force de rappel :

\vec F=-k\,x\,\vec i

. 2ᵉ loi :

m\ddot x=-k\,x

, soit

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Solution :

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

Pendule simple

Aux petites oscillations (

\sin\theta\approx\theta

) :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

. La période propre ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme).

Amortissement et résonance

Avec frottements : régime pseudo-périodique (

T\gtrsim T_0

), critique, puis apériodique. Sous excitation périodique de fréquence

f

, l'amplitude est maximale quand

f\approx f_0

: résonance, d'autant plus aiguë que l'amortissement est faible.

Le système solide-ressort

Un solide de masse

m

fixé à un ressort de raideur

K

glisse sans frottement sur un plan horizontal. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe du ressort donne

m\ddot x = -Kx

, soit l'équation différentielle

\ddot x + \dfrac{K}{m}\,x = 0

. Sa solution est

x(t) = X_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)

, de période propre

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}

; l'amplitude

X_m

et la phase

\varphi

sont fixées par les conditions initiales. Exemple :

m = 200

g et

K = 20\ N\cdot m^{-1}

donnent

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}01} \approx 0{,}63

Erreurs fréquentes

Écrire T₀ = 2π√(k/m) : c'est 2π√(m/k).

Oublier l'approximation des petits angles pour le pendule simple.

Confondre période propre T₀ (oscillateur idéal) et pseudo-période T (oscillateur amorti).

Exemple corrigé

Énoncé

Un pendule élastique horizontal a

m=250\ \text{g}

k=40\ \text{N/m}

(frottements négligés). Calculer la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre.

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{40}{0{,}250}}=\sqrt{160}\approx 12{,}6\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx \dfrac{2\pi}{12{,}6}\approx 0{,}50\ \text{s}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 2{,}0\ \text{Hz}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un pendule simple de longueur

L=0{,}80\ \text{m}

oscille avec une faible amplitude (

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Calculer sa période propre.

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}80}{9{,}8}}\approx 1{,}8\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Par quel facteur faut-il multiplier la raideur

k

d'un pendule élastique pour diviser sa période propre par 2 (masse inchangée) ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\propto\dfrac{1}{\sqrt k}

. Pour diviser

T_0

par 2, il faut multiplier

\sqrt k

par 2, donc multiplier $k$ par 4.

Exercice 3

Difficile

Établir l'équation différentielle du pendule élastique horizontal et vérifier que

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

en est solution, avec

\omega_0=\sqrt{k/m}

Voir la correction

2ᵉ loi projetée sur l'axe du mouvement :

m\ddot x=-k\,x

. D'où

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Avec

x=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\ddot x=-\omega_0^{2}x

. En reportant :

-\omega_0^{2}x+\dfrac{k}{m}x=0

pour tout

t

, ce qui impose

\omega_0^{2}=\dfrac{k}{m}

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Questions fréquentes

De quoi dépend la période propre d'un pendule élastique ?

Uniquement de la masse m et de la raideur k : T₀ = 2π√(m/k). Elle ne dépend pas de l'amplitude des oscillations (isochronisme).

Qu'est-ce que l'amortissement d'un oscillateur ?

La diminution progressive de l'amplitude due aux forces de frottement, qui dissipent l'énergie mécanique. Selon leur intensité, le régime est pseudo-périodique, critique ou apériodique.

Quelle différence entre oscillations libres, forcées et résonance ?

Libres : le système oscille seul à sa fréquence propre f₀. Forcées : un dispositif impose sa fréquence f. Résonance : lorsque f ≈ f₀, l'amplitude des oscillations forcées devient maximale.