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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Fonctions primitives — Cours Maths Bac Agro

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : primitives usuelles, reconnaissance des formes u′f(u), et détermination de LA primitive vérifiant une condition.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral : toute intégrale se calcule via une primitive.

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale ou d'une équation différentielle. La reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ est systématiquement testée.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
  • Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
  • Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u
  • Exploiter l'unicité à une constante près
  • Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

FF est une primitive de ff sur II si F′=fF'=f. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

xn→xn+1n+1x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (n≠−1n\neq-1), 1x→ln⁡∣x∣\dfrac1x\to\ln|x|, ex→exe^x\to e^x, cos⁡x→sin⁡x\cos x\to\sin x, sin⁡x→−cos⁡x\sin x\to-\cos x.

Formes composées

u′un→un+1n+1u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1},   u′u→ln⁡∣u∣\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|,   u′eu→eu\;u'e^{u}\to e^{u},   u′u→2u\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u},   u′cos⁡u→sin⁡u\;u'\cos u\to\sin u.

Condition initiale

Une seule primitive F+cF+c vérifie F(x0)=y0F(x_0)=y_0 : on écrit la primitive générale, on remplace xx par x0x_0, on résout en cc.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

2

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

3

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

4

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de f(x)=4x−12x2−x+5f(x)=\dfrac{4x-1}{2x^2-x+5} sur R\mathbb{R}, puis de g(x)=3x2 ex3g(x)=3x^2\,e^{x^3}.

Correction

Pour ff. On pose u(x)=2x2−x+5u(x)=2x^2-x+5 ; u′(x)=4x−1u'(x)=4x-1, donc f=u′uf=\dfrac{u'}{u}. Comme le discriminant 1−40<01-40<0, u>0u>0 partout, donc F(x)=ln⁡(2x2−x+5)F(x)=\ln(2x^2-x+5).
Pour gg. On pose u(x)=x3u(x)=x^3 ; u′(x)=3x2u'(x)=3x^2, donc g=u′eug=u'e^{u}.
Une primitive est G(x)=ex3G(x)=e^{x^3}.
Vérification : G′(x)=3x2ex3=g(x)G'(x)=3x^2 e^{x^3}=g(x).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Déterminer la primitive FF de f(x)=3x2+4x−1f(x)=3x^2+4x-1 telle que F(1)=0F(1)=0.
Voir la correction
F(x)=x3+2x2−x+cF(x)=x^3+2x^2-x+c. F(1)=1+2−1+c=2+c=0F(1)=1+2-1+c=2+c=0, donc c=−2c=-2 et F(x)=x3+2x2−x−2F(x)=x^3+2x^2-x-2.

Exercice 2

Moyen
Déterminer une primitive de f(x)=xx2+9f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}} sur R\mathbb{R}.
Voir la correction
Avec u(x)=x2+9u(x)=x^2+9, u′(x)=2xu'(x)=2x : f(x)=12u′uf(x)=\tfrac12\dfrac{u'}{\sqrt u}. Or u′u→2u\dfrac{u'}{\sqrt u}\to 2\sqrt u, donc F(x)=12⋅2x2+9=x2+9F(x)=\tfrac12\cdot 2\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2+9}.

Exercice 3

Difficile
Déterminer une primitive de f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x)=\sin x\cos x sur R\mathbb{R} et de g(x)=exex+1g(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}.
Voir la correction
Pour ff : avec u=sin⁡xu=\sin x, u′=cos⁡xu'=\cos x, on a f=u′uf=u'u, donc F(x)=sin⁡2x2F(x)=\dfrac{\sin^2 x}{2}. Pour gg : avec u=ex+1>0u=e^{x}+1>0, u′=exu'=e^{x}, on a g=u′ug=\dfrac{u'}{u}, donc G(x)=ln⁡(ex+1)G(x)=\ln(e^{x}+1).

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x < 0 et x > 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; on ajuste le coefficient et la primitive est ln|dénominateur|.

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