Fonctions primitives — Cours Maths Bac Agro

Q: Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Q: Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral : toute intégrale se calcule via une primitive.

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale ou d'une équation différentielle. La reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ est systématiquement testée.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u
Exploiter l'unicité à une constante près
Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

F

est une primitive de

f

sur

I

F'=f

. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n\neq-1

\dfrac1x\to\ln|x|

e^x\to e^x

\cos x\to\sin x

\sin x\to-\cos x

Formes composées

u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|

\;u'e^{u}\to e^{u}

\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u}

\;u'\cos u\to\sin u

Condition initiale

Une seule primitive

F+c

vérifie

F(x_0)=y_0

: on écrit la primitive générale, on remplace

x

par

x_0

, on résout en

c

Erreurs fréquentes

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{4x-1}{2x^2-x+5}

sur

\mathbb{R}

, puis de

g(x)=3x^2\,e^{x^3}

Correction

Pour $f$ . On pose

u(x)=2x^2-x+5

;

u'(x)=4x-1

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

. Comme le discriminant

1-40<0

u>0

partout, donc

F(x)=\ln(2x^2-x+5)

Pour $g$ . On pose

u(x)=x^3

;

u'(x)=3x^2

, donc

g=u'e^{u}

Une primitive est

G(x)=e^{x^3}

Vérification :

G'(x)=3x^2 e^{x^3}=g(x)

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer la primitive

F

f(x)=3x^2+4x-1

telle que

F(1)=0

Voir la correction

F(x)=x^3+2x^2-x+c

F(1)=1+2-1+c=2+c=0

, donc

c=-2

F(x)=x^3+2x^2-x-2

Exercice 2

Moyen

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}

sur

\mathbb{R}

Voir la correction

Avec

u(x)=x^2+9

u'(x)=2x

f(x)=\tfrac12\dfrac{u'}{\sqrt u}

. Or

\dfrac{u'}{\sqrt u}\to 2\sqrt u

, donc

F(x)=\tfrac12\cdot 2\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2+9}

Exercice 3

Difficile

Déterminer une primitive de

f(x)=\sin x\cos x

sur

\mathbb{R}

et de

g(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}

Voir la correction

Pour

f

: avec

u=\sin x

u'=\cos x

, on a

f=u'u

, donc

F(x)=\dfrac{\sin^2 x}{2}

. Pour

g

: avec

u=e^{x}+1>0

u'=e^{x}

, on a

g=\dfrac{u'}{u}

, donc

G(x)=\ln(e^{x}+1)

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x < 0 et x > 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; on ajuste le coefficient et la primitive est ln|dénominateur|.