OrkaOrka/Bac/Sciences Agronomiques
Commencer
Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac Agro

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Traitée juste après le logarithme, l'exponentielle est l'objet de l'autre problème d'analyse et modélise les croissances à taux constant.

À l'épreuve

Étude d'une fonction du type x ↦ (x − 1)eˣ ou x ↦ eˣ/x : limites avec croissances comparées, dérivée, tableau, tangente, tracé ; résolution d'une équation par le changement X = eˣ ; démonstration d'une inégalité par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Définition et propriétés

exp⁡\exp est la réciproque de ln⁡\ln : eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\frac{1}{e^a}, e0=1e^0=1.

Variation et limites

exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0 sur R\mathbb{R}. lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty ; lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0 ; lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.

Dérivée

(ex)′=ex(e^x)'=e^x et (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe, d'où ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Erreurs fréquentes

1
Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant par changement de variable.
2
Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ : faux, c'est le produit.
3
Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.
4
Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−7ex+12=0e^{2x}-7e^{x}+12=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−7X+12=0X^2-7X+12=0.
X2−7X+12=(X−3)(X−4)=0X^2-7X+12=(X-3)(X-4)=0, donc X=3X=3 ou X=4X=4 (toutes deux >0>0).
ex=3  ⟺  x=ln⁡3e^{x}=3 \iff x=\ln 3 ; ex=4  ⟺  x=ln⁡4e^{x}=4 \iff x=\ln 4.
S={ln⁡3, ln⁡4}S=\{\ln 3,\ \ln 4\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Mathématiques du Bac Agro, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e3x−2=e4e^{3x-2}=e^{4}.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 3x−2=43x-2=4, soit x=2x=2.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(3x+1)e−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x+1)e^{-x} et lim⁡x→−∞(x2+2)ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+2)e^{x}.
Voir la correction
(3x+1)e−x=3x+1ex→0(3x+1)e^{-x}=\dfrac{3x+1}{e^{x}}\to 0 par croissance comparée. (x2+2)ex=x2ex+2ex→0(x^2+2)e^{x}=x^2 e^{x}+2e^{x}\to 0 en −∞-\infty.

Exercice 3

Difficile
Étudier f(x)=exxf(x)=\dfrac{e^{x}}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et en déduire que ex≥e xe^{x}\ge e\,x pour tout x>0x>0.
Voir la correction
f′(x)=exx−exx2=ex(x−1)x2f'(x)=\dfrac{e^{x}x-e^{x}}{x^2}=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^2} : f′<0f'<0 sur ]0,1[]0,1[, f′>0f'>0 sur ]1,+∞[]1,+\infty[. ff a un minimum f(1)=ef(1)=e. Donc exx≥e\dfrac{e^{x}}{x}\ge e pour tout x>0x>0, c'est-à-dire ex≥e xe^{x}\ge e\,x.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi la croissance « exponentielle » est-elle si rapide ?

Parce que eˣ/xⁿ → +∞ pour tout n : l'exponentielle finit toujours par dépasser n'importe quelle puissance de x.

exp et ln, quelle relation à l'examen ?

Ce sont des fonctions réciproques : on passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations et pour transformer aˣ = e^(x ln a).

À lire aussi

Fonctions logarithmiques — Bac AgroÉquations différentielles — Bac AgroProgramme de Mathématiques Bac Agro