Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac Agro

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, souvent posé dans un cadre agricole (germination, sélection, contrôle de lots).

À l'épreuve

Un exercice type tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales, définir une variable aléatoire X, donner sa loi et son espérance ; parfois une loi binomiale B(n, p).

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : p-listes nᵖ, arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés avec remise :

n^{p}

. Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Indépendance :

P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Variable aléatoire et loi binomiale

E(X)=\sum_i x_i P(X=x_i)

. Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

Écrire P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans justifier l'indépendance.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de

10

semences contient

3

semences non germantes. On en sème

4

prises au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

1

semence non germante.

Correction

Nombre total de choix :

\dbinom{10}{4}=210

Cas favorables :

1

non germante parmi

3

3

germantes parmi

7

\dbinom{3}{1}\times\dbinom{7}{3}=3\times 35=105

P(\text{exactement 1 non germante})=\dfrac{105}{210}=\dfrac{1}{2}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot PLANTE ?

Voir la correction

Les

6

lettres sont distinctes : le nombre d'anagrammes est

6!=720

Exercice 2

Moyen

60\%

d'une récolte provient de la parcelle A,

40\%

de la parcelle B.

10\%

des lots de A et

25\%

de ceux de B sont de qualité inférieure. Un lot de qualité inférieure : quelle est la probabilité qu'il vienne de B ?

Voir la correction

P(A)=0{,}6

P(I\mid A)=0{,}10

P(I\mid B)=0{,}25

P(I)=0{,}6\times 0{,}10+0{,}4\times 0{,}25=0{,}06+0{,}10=0{,}16

. Bayes :

P(B\mid I)=\dfrac{0{,}10}{0{,}16}=0{,}625

Exercice 3

Difficile

On sème

5

graines indépendantes, chacune germant avec probabilité

0{,}7

. Soit

X

le nombre de graines germées. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 4)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}(5,\ 0{,}7)

P(X=k)=\dbinom{5}{k}(0{,}7)^{k}(0{,}3)^{5-k}

E(X)=np=3{,}5

P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)=\dbinom{5}{4}(0{,}7)^4(0{,}3)+(0{,}7)^5=5\times 0{,}2401\times 0{,}3+0{,}16807=0{,}36015+0{,}16807\approx 0{,}528

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (podium, code, tirages successifs distincts) → arrangement Aₙᵖ. Ordre indifférent (tirage simultané, échantillon) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (parcelles, variétés, lots) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (germination / non-germination) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de succès suit B(n, p), d'espérance np.