Statique du Solide — Torseurs et PFS (Bac STM)

Objectifs d'apprentissage

Définir un torseur d'action mécanique : résultante (force) et moment associé, exprimé en un point donné
Énoncer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) : résultante des actions extérieures nulle et moment résultant nul en tout point
Isoler un solide et établir le bilan complet des actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui
Exploiter le PFS pour déterminer des inconnues de liaison (forces, moments) dans un problème de statique plane
Reconnaître et exploiter le cas particulier du solide soumis à 2 forces (forces égales, opposées, même support)
Reconnaître et exploiter le cas particulier du solide soumis à 3 forces (forces concourantes ou toutes parallèles)

Formules et résultats clés

Torseur d'action mécanique

Un torseur d'action mécanique regroupe, en un point donné, la résultante (la force elle-même, indépendante du point choisi) et le momentassocié (qui dépend, lui, du point où on l'exprime, à cause du bras de levier entre ce point et la ligne d'action de la force).

Principe Fondamental de la Statique (PFS)

\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \qquad \sum \vec{M}_{ext}(\text{en un point}) = \vec{0}

Pour un solide en équilibre, la somme des forces extérieures est nulle (théorème de la résultante statique) ET la somme des moments de ces forces, calculés en un même point, est également nulle (théorème du moment statique). Les deux conditions doivent être vérifiées ensemble.

Méthode : isoler le solide

Avant d'appliquer le PFS, il faut isolerle solide étudié : ne recenser que les actions mécaniques exercées par l'extérieur sur ce solide, en ignorant les actions internes et les actions que ce solide exerce lui-même sur l'extérieur.

Solide soumis à 2 forces

Les deux forces doivent être égales en intensité, de sens opposés, et portées par la même ligne d'action.

Solide soumis à 3 forces

Les trois forces doivent être soit concourantes en un même point, soit toutes parallèles entre elles.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier l'équilibre du moment en plus de l'équilibre des forces — le PFS impose les deux conditions simultanément, une résultante nulle ne suffit pas à elle seule à garantir l'équilibre.

Oublier que la partie moment d'un torseur d'action mécanique dépend du point où on l'exprime (contrairement à la résultante) — toujours préciser en quel point le moment est calculé.

Confondre solide soumis à 2 forces (elles doivent être égales, opposées et de même support) et solide soumis à 3 forces (elles doivent être concourantes en un même point, ou toutes parallèles).

Mal isoler le solide étudié avant d'appliquer le PFS — il faut compter toutes les actions mécaniques exercées par l'extérieur sur ce solide isolé, ni plus ni moins (pas les actions internes, ni les actions de ce solide sur l'extérieur).

Se tromper de signe en projetant les forces sur les axes du repère choisi — toujours définir clairement le repère et respecter la même convention de signe pour toutes les projections d'un même problème.

Exemple corrigé — Réactions d'une poutre sur deux appuis

Énoncé

Une poutre horizontale de longueur $L = 6\ \text{m}$ repose sur deux appuis simples A (à l'origine) et B (à $x=6\ \text{m}$ ). Une charge verticale $P = 1200\ \text{N}$ s'applique à $x = 2\ \text{m}$ de A. 1) Calculer $R_B$ en appliquant le moment en A. 2) Calculer $R_A$ en appliquant la résultante verticale.

Correction

1) Moment en A : $R_B \times L = P \times 2 \Rightarrow R_B = \dfrac{1200 \times 2}{6} = 400\ \text{N}$ .

2) Résultante verticale : $R_A + R_B = P \Rightarrow R_A = 1200 - 400 = 800\ \text{N}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bielle rectiligne, en équilibre, n'est soumise qu'à deux forces à ses deux extrémités. Que peut-on dire de ces deux forces d'après le principe du solide soumis à 2 forces ?

Voir la correction

D'après le principe du solide soumis à 2 forces, elles doivent être égales en intensité, de sens opposés, et portées par la même ligne d'action — ici, l'axe de la bielle. La bielle est donc soit tendue, soit comprimée le long de son axe.

Exercice 2

Moyen

Une poutre horizontale de longueur $L = 4\ \text{m}$ repose sur deux appuis simples, l'un en A (à l'origine) et l'autre en B (à $x=4\ \text{m}$ ). Une charge verticale $P = 800\ \text{N}$ s'applique à $x = 1\ \text{m}$ de A. Calculer la réaction verticale en B, en appliquant le théorème du moment statique au point A.

Voir la correction

En équilibrant les moments au point A : $R_B \times L = P \times 1 \Rightarrow R_B = \dfrac{P \times 1}{L} = \dfrac{800 \times 1}{4} = 200\ \text{N}$ .

Exercice 3

Difficile

Pour la même poutre que l'exercice précédent ( $L=4\ \text{m}$ , $P=800\ \text{N}$ à $x=1\ \text{m}$ , $R_B = 200\ \text{N}$ ), calculer la réaction verticale en A en appliquant le théorème de la résultante statique, puis vérifier ce résultat en appliquant le théorème du moment au point B.

Voir la correction

Théorème de la résultante (équilibre vertical) : $R_A + R_B = P \Rightarrow R_A = 800 - 200 = 600\ \text{N}$ . Vérification par le moment en B : la charge P est à une distance $L - 1 = 3\ \text{m}$ de B, donc $R_A \times L = P \times 3 \Rightarrow R_A = \dfrac{800 \times 3}{4} = 600\ \text{N}$ — les deux méthodes donnent bien le même résultat, ce qui confirme la cohérence du bilan des actions mécaniques.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Que dit le Principe Fondamental de la Statique (PFS) ?

Le PFS énonce que, pour un solide en équilibre (immobile) sous l'action de plusieurs actions mécaniques extérieures, la somme des torseurs de ces actions est nulle. Concrètement, cela impose deux conditions simultanées : la somme vectorielle des forces extérieures est nulle (théorème de la résultante statique), ET la somme des moments de ces forces, calculés en un même point quelconque, est également nulle (théorème du moment statique). Les deux conditions doivent être vérifiées ensemble — l'une sans l'autre ne suffit pas à garantir l'équilibre.

Pourquoi le moment d'un torseur dépend-il du point choisi, mais pas la résultante ?

La résultante d'un torseur est une somme vectorielle de forces : elle ne dépend que de ces forces elles-mêmes, pas du point d'observation. Le moment, en revanche, dépend de la distance entre le point choisi et la ligne d'action de chaque force (bras de levier) : changer de point de calcul change généralement la valeur du moment résultant, même si la résultante reste identique. C'est pourquoi il faut toujours préciser en quel point un moment est exprimé.

Quelle est la différence entre un solide soumis à 2 forces et un solide soumis à 3 forces ?

Un solide en équilibre soumis à exactement 2 forces extérieures ne peut être en équilibre que si ces deux forces sont égales en intensité, de sens opposés, et portées par la même ligne d'action (le même support) — c'est le cas, par exemple, d'une bielle uniquement tirée ou comprimée à ses deux extrémités. Un solide en équilibre soumis à exactement 3 forces extérieures ne peut être en équilibre que si ces trois forces sont soit concourantes en un même point, soit toutes parallèles entre elles — une propriété très utile pour résoudre géométriquement un problème de statique plane sans calcul algébrique complexe.