Objectifs d'apprentissage
- Rappeler qu'un solide libre dans l'espace possède 6 degrés de liberté : 3 translations et 3 rotations indépendantes
- Identifier le nombre de degrés de liberté supprimés (ou conservés) par les liaisons mécaniques normalisées usuelles
- Distinguer liaison pivot, glissière, pivot glissant, rotule (sphérique), appui plan et ponctuelle
- Associer à chaque liaison son modèle cinématique et son symbole normalisé
- Distinguer liaison complète (encastrement, 0 degré de liberté conservé) et liaison partielle (au moins 1 degré de liberté conservé)
- Construire un graphe de liaisons simple à partir de la description d'un mécanisme
- Justifier le choix d'une liaison en fonction des mouvements relatifs souhaités entre deux pièces
Formules et résultats clés
Degrés de liberté d'un solide libre
Un solide totalement libre dans l'espace possède 6 degrés de liberté (DDL) : 3 translations indépendantes (selon x, y, z) et 3 rotations indépendantes (autour de x, y, z). Une liaison mécanique entre deux solides supprime une partie de ces 6 degrés, ne laissant subsister que les mouvements relatifs autorisés.
Les liaisons normalisées usuelles
Pivot : 1 DDL conservé (1 rotation), 5 supprimés — un arbre dans un palier fixe.
Glissière : 1 DDL conservé (1 translation), 5 supprimés — un tiroir dans ses rails.
Pivot glissant : 2 DDL conservés (1 rotation + 1 translation, même axe), 4 supprimés — un arbre cannelé.
Rotule (sphérique) : 3 DDL conservés (3 rotations autour d'un point), 3 supprimés — une rotule de suspension.
Appui plan : 3 DDL conservés (2 translations + 1 rotation), 3 supprimés — une pièce posée à plat.
Ponctuelle : 5 DDL conservés (3 rotations + 2 translations dans le plan tangent au contact), 1 seul supprimé (la translation selon la normale au contact) — un simple contact ponctuel entre deux surfaces.
Encastrement : 0 DDL conservé, 6 supprimés — aucun mouvement relatif possible, les deux pièces sont solidaires.
Erreurs fréquentes
Oublier qu'un solide libre dans l'espace possède 6 degrés de liberté, pas 3 — on oublie souvent les 3 rotations en ne comptant que les 3 translations.
Confondre pivot (1 rotation conservée, 5 degrés supprimés) et pivot glissant (1 rotation + 1 translation conservées le long du même axe, 4 degrés supprimés).
Confondre rotule/liaison sphérique (3 rotations conservées autour d'un même point, aucune translation) et appui plan (2 translations + 1 rotation conservées, aucune translation hors du plan) — deux liaisons à 3 degrés de liberté mais de nature très différente.
Croire qu'un encastrement (liaison complète) autorise un mouvement relatif quelconque — il supprime au contraire les 6 degrés de liberté, aucun mouvement relatif n'est possible.
Oublier que, pour une liaison entre deux solides dans l'espace, le nombre de degrés de liberté supprimés plus le nombre de degrés de liberté conservés doit toujours valoir 6.
Exemple corrigé — Identifier une liaison à partir des mouvements observés
Énoncé
Sur un vérin pneumatique, la tige peut uniquement coulisser le long de son axe par rapport au corps du vérin, sans aucune rotation possible. Identifier le type de liaison entre la tige et le corps du vérin, puis vérifier le bilan des degrés de liberté.
Correction
Un seul mouvement relatif est possible : la translation le long de l'axe de la tige. C'est donc une liaison glissière.
Elle conserve 1 degré de liberté (la translation) et en supprime donc $6 - 1 = 5$ : les 2 autres translations et les 3 rotations sont bloquées, ce qui garantit que la tige ne peut ni tourner ni s'écarter latéralement du corps du vérin.
3 exercices pour t'entraîner
Exercice 1
FacileUne liaison pivot conserve un seul degré de liberté (la rotation autour d'un axe). Combien de degrés de liberté supprime-t-elle ?
Voir la correction
Un solide libre possède 6 degrés de liberté. Si la liaison pivot en conserve 1, elle en supprime .
Exercice 2
MoyenDeux pièces sont assemblées de telle sorte que l'une puisse uniquement tourner autour d'un axe ET coulisser le long de ce même axe, sans aucun autre mouvement relatif possible. Identifier le type de liaison, et donner le nombre de degrés de liberté conservés et supprimés.
Voir la correction
Il s'agit d'une liaison pivot glissant : elle conserve 2 degrés de liberté (1 rotation et 1 translation, tous deux le long du même axe), et en supprime donc .
Exercice 3
DifficileUne pièce est simplement posée à plat sur une table, sans aucune fixation. Elle peut glisser librement dans les deux directions du plan de la table et pivoter sur elle-même autour de la verticale, mais ne peut ni décoller de la table ni basculer. Identifier le type de liaison en jeu, et vérifier le bilan des degrés de liberté.
Voir la correction
C'est une liaison appui plan : elle conserve 2 translations dans le plan de la table et 1 rotation autour de l'axe vertical perpendiculaire à ce plan, soit 3 degrés de liberté conservés. Elle supprime donc degrés de liberté : la translation verticale (la pièce ne peut pas décoller) et les deux rotations qui feraient basculer la pièce hors du plan de la table.
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Questions fréquentes
Combien de degrés de liberté possède un solide libre dans l'espace ?
Un solide libre dans l'espace possède 6 degrés de liberté : 3 translations indépendantes (selon les axes x, y et z) et 3 rotations indépendantes (autour de ces mêmes axes). Une liaison mécanique entre deux solides supprime toujours un certain nombre de ces 6 degrés de liberté, ne laissant subsister que les mouvements relatifs autorisés par cette liaison.
Quelle est la différence entre une liaison pivot et une liaison pivot glissant ?
Une liaison pivot ne conserve qu'un seul degré de liberté : la rotation autour d'un axe donné (les 5 autres degrés sont supprimés) — c'est le modèle d'un arbre tournant dans un palier fixe. Une liaison pivot glissant conserve deux degrés de liberté le long du même axe : la rotation ET la translation (4 degrés supprimés) — c'est le modèle d'un arbre cannelé qui peut à la fois tourner et coulisser dans son logement.
Quelle est la différence entre une liaison rotule et une liaison appui plan ?
Les deux liaisons conservent 3 degrés de liberté, mais de nature différente. Une liaison rotule (sphérique) conserve 3 rotations indépendantes autour d'un même point, sans aucune translation possible — c'est le modèle d'une rotule de suspension automobile. Une liaison appui plan conserve 2 translations dans un plan et 1 rotation autour de l'axe perpendiculaire à ce plan, sans aucune translation possible hors de ce plan — c'est le modèle d'une pièce simplement posée à plat sur une surface plane.