Résistance des Matériaux — Traction, Cisaillement, Torsion, Flexion (Bac STM)

Objectifs d'apprentissage

Calculer la contrainte normale σ = N/S en traction ou en compression
Calculer la contrainte de cisaillement τ = T/S sous un effort tranchant
Calculer la contrainte tangentielle maximale de torsion τmax = Mt·R/I0 d'un arbre de section circulaire
Calculer la contrainte normale maximale de flexion σmax = Mf·v/IGz
Exploiter la condition de résistance σmax ≤ σadm = Re/s pour vérifier ou dimensionner une pièce
Distinguer les sollicitations simples (traction, compression, cisaillement, torsion, flexion) selon la nature de l'effort appliqué

Formules et résultats clés

Traction et compression

\sigma = \dfrac{N}{S}

La contrainte normale σ (en MPa) est le rapport de l'effort normal N (perpendiculaire à la section) sur l'aire de la section droite S. Positive en traction, négative en compression.

Cisaillement

\tau = \dfrac{T}{S}

La contrainte de cisaillement τ résulte d'un effort tranchant T, tangent à la section (parallèle à elle) — elle tend à faire glisser une partie de la matière par rapport à l'autre, comme lors du cisaillement d'un rivet ou du poinçonnage d'une tôle.

Torsion

\tau_{max} = \dfrac{M_t \times R}{I_0}

La contrainte tangentielle maximale de torsion dépend du moment de torsion Mt, du rayon extérieur R et du moment quadratique polaire I0 de la section. Elle est maximale à la périphérie de l'arbre et nulle sur son axe.

Flexion simple

\sigma_{max} = \dfrac{M_f \times v}{I_{Gz}}

La contrainte normale maximale de flexion dépend du moment fléchissant Mf, de la distance v entre la fibre la plus sollicitée et la fibre neutre, et du moment quadratique IGz de la section. Elle varie linéairement dans la section, de +σmax à −σmax, en passant par zéro sur la fibre neutre.

Condition de résistance

Une pièce résiste en service si sa contrainte maximale reste inférieure à la contrainte admissible : $\sigma_{max} \leq \sigma_{adm} = \dfrac{Re}{s}$ , où Re est la limite élastique du matériau et s le coefficient de sécurité retenu (généralement entre 2 et 5 selon la criticité de l'application).

Erreurs fréquentes

Confondre contrainte normale σ = N/S (effort perpendiculaire à la section, traction/compression) et contrainte de cisaillement τ = T/S (effort tangent à la section, glissement d'une partie de la matière par rapport à l'autre).

Oublier que la contrainte de torsion est maximale à la périphérie d'un arbre et nulle sur son axe — utiliser le rayon extérieur R, pas le rayon moyen, pour calculer la contrainte maximale.

Confondre moment quadratique polaire I0 (utilisé en torsion) et moment quadratique de flexion IGz (utilisé en flexion) — ce ne sont pas la même grandeur, même si elles se calculent toutes deux à partir de la géométrie de la section.

Oublier que la contrainte de flexion varie linéairement dans la section, de +σmax à −σmax, en passant par zéro sur la fibre neutre — ce n'est pas une contrainte uniforme comme en traction simple.

Confondre limite élastique Re (caractéristique du matériau) et contrainte admissible σadm = Re/s (valeur réduite par le coefficient de sécurité, celle qu'il faut réellement comparer à la contrainte calculée dans la pièce).

Exemple corrigé — Vérification d'un axe en traction

Énoncé

Un axe de section circulaire pleine, de diamètre $d = 10\ \text{mm}$ , est soumis à un effort de traction $N = 5000\ \text{N}$ . Le matériau a une limite élastique $Re = 200\ \text{MPa}$ et le coefficient de sécurité retenu est $s = 2$ . Vérifier si l'axe résiste.

Correction

$S = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78{,}5\ \text{mm}^2$ .

$\sigma = \dfrac{N}{S} = \dfrac{5000}{78{,}5} \approx 63{,}7\ \text{MPa}$ .

$\sigma_{adm} = \dfrac{Re}{s} = \dfrac{200}{2} = 100\ \text{MPa}$ . Comme $\sigma \approx 63{,}7\ \text{MPa} \leq 100\ \text{MPa}$ , l'axe résiste avec une marge de sécurité confortable.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une barre de section carrée pleine, de côté $a = 10\ \text{mm}$ , est soumise à un effort de traction $N = 6000\ \text{N}$ . Calculer la contrainte normale σ.

Voir la correction

$S = a^2 = 10^2 = 100\ \text{mm}^2$ . $\sigma = \dfrac{N}{S} = \dfrac{6000}{100} = 60\ \text{MPa}$ .

Exercice 2

Moyen

Un rivet de section circulaire, de diamètre $d = 8\ \text{mm}$ , est soumis à un effort tranchant $T = 3000\ \text{N}$ . Calculer la contrainte de cisaillement τ.

Voir la correction

$S = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi \times 8^2}{4} \approx 50{,}3\ \text{mm}^2$ . $\tau = \dfrac{T}{S} = \dfrac{3000}{50{,}3} \approx 59{,}6\ \text{MPa}$ .

Exercice 3

Difficile

Un arbre plein de rayon $R = 15\ \text{mm}$ transmet un moment de torsion $M_t = 200\ \text{N·m}$ . Le moment quadratique polaire d'une section circulaire pleine vaut $I_0 = \dfrac{\pi R^4}{2}$ . Calculer $I_0$ , puis la contrainte tangentielle maximale de torsion.

Voir la correction

$I_0 = \dfrac{\pi \times (0{,}015)^4}{2} \approx \dfrac{\pi \times 5{,}06\times 10^{-8}}{2} \approx 7{,}95\times 10^{-8}\ \text{m}^4$ . $\tau_{max} = \dfrac{M_t\,R}{I_0} = \dfrac{200 \times 0{,}015}{7{,}95\times 10^{-8}} \approx 37{,}7\times 10^{6}\ \text{Pa} \approx 37{,}7\ \text{MPa}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre contrainte normale et contrainte de cisaillement ?

La contrainte normale σ = N/S résulte d'un effort perpendiculaire à la section droite de la pièce (traction ou compression) : elle tend à allonger ou raccourcir la matière dans sa direction. La contrainte de cisaillement τ = T/S résulte d'un effort tangent à la section (parallèle à elle) : elle tend à faire glisser une partie de la matière par rapport à l'autre, comme lors du poinçonnage d'une tôle ou du cisaillement d'un rivet. Les deux se mesurent dans la même unité (MPa), mais correspondent à des sollicitations mécaniquement très différentes.

Pourquoi la contrainte de torsion est-elle maximale à la périphérie d'un arbre et nulle sur son axe ?

En torsion, la contrainte tangentielle en un point de la section dépend directement de sa distance r à l'axe de l'arbre : τ = Mt·r/I0. Sur l'axe (r = 0), la contrainte est donc nulle, tandis qu'elle atteint sa valeur maximale à la périphérie de l'arbre (r = R, le rayon extérieur), là où la matière est la plus sollicitée. C'est pourquoi, à section extérieure égale, un arbre creux (tube) résiste presque aussi bien en torsion qu'un arbre plein, tout en étant nettement plus léger — la matière proche de l'axe travaille peu.

Qu'est-ce que le coefficient de sécurité dans la condition de résistance ?

La condition de résistance impose que la contrainte maximale subie par une pièce reste inférieure à une contrainte admissible, définie comme σadm = Re/s, où Re est la limite élastique du matériau et s un coefficient de sécurité (généralement entre 2 et 5 selon la criticité de l'application). Ce coefficient prend en compte les incertitudes sur les charges réelles, les défauts de matière, les effets dynamiques ou de fatigue non modélisés, et garantit une marge de sécurité par rapport à la limite théorique du matériau.