Résistance des Matériaux (RDM) — Cours (Bac SMB)

Objectifs d'apprentissage

Distinguer les quatre sollicitations simples : traction, compression, torsion et flexion
Calculer la contrainte normale σ en traction/compression à partir de l'effort normal et de l'aire de la section
Calculer la contrainte tangentielle maximale en torsion d'un arbre de section circulaire
Calculer la contrainte normale maximale en flexion simple d'une poutre à partir du moment fléchissant
Écrire et exploiter la condition de résistance d'une pièce : contrainte admissible et coefficient de sécurité
Relier la limite élastique Re, la résistance à la rupture Rm et le coefficient de sécurité s au dimensionnement d'une pièce

Formules et résultats clés

Traction et compression

\sigma = \dfrac{N}{S}

La contrainte normale σ (en MPa ou N/mm²) est le rapport de l'effort normal N (en N) sur l'aire de la section droite S (en mm²). Positive en traction, négative en compression.

Torsion

\tau_{max} = \dfrac{M_t \times R}{I_0}

La contrainte tangentielle maximale τmax en torsion d'un arbre de section circulaire dépend du moment de torsion Mt, du rayon extérieur R et du moment quadratique polaire I0 de la section. Elle est maximale à la périphérie de l'arbre et nulle sur son axe.

Flexion simple

\sigma_{max} = \dfrac{M_f \times v}{I_{Gz}}

La contrainte normale maximale de flexion dépend du moment fléchissant Mf, de la distance v entre la fibre la plus sollicitée et la fibre neutre, et du moment quadratique IGz de la section par rapport à son axe neutre. Elle varie linéairement dans la section, de +σmax à −σmax.

Condition de résistance

Une pièce résiste en service si sa contrainte maximale reste inférieure à la contrainte admissible : $\sigma_{max} \leq \sigma_{adm} = \dfrac{Re}{s}$ , où Re est la limite élastique du matériau et s le coefficient de sécurité retenu (généralement entre 2 et 5 selon la criticité de l'application).

Erreurs fréquentes

Confondre contrainte normale (perpendiculaire à la section, traction/compression/flexion) et contrainte tangentielle (dans le plan de la section, torsion/cisaillement) : ce sont deux grandeurs distinctes, jamais additionnées directement.

Oublier que la contrainte de flexion n'est pas uniforme dans la section : elle est maximale aux fibres extrêmes et nulle sur la fibre neutre — utiliser la distance à la fibre neutre, pas un rayon quelconque.

Confondre limite élastique Re (seuil de déformation permanente) et résistance à la rupture Rm (seuil de rupture) : le dimensionnement se fait presque toujours par rapport à Re, avec un coefficient de sécurité, pas par rapport à Rm.

Oublier de convertir les unités avant de calculer une contrainte : forces en newtons, longueurs en mètres (ou cohérence mm/MPa), pour obtenir une contrainte en Pa ou en MPa sans erreur d'ordre de grandeur.

Négliger la nature du matériau (module d'Young, limite élastique) dans le calcul du coefficient de sécurité : deux pièces de mêmes dimensions mais de matériaux différents n'ont pas le même comportement en service.

Exemple corrigé — Vérification d'un tirant

Énoncé

Un tirant de section circulaire pleine, de diamètre $d = 12\ \text{mm}$ , est soumis à un effort de traction $N = 8000\ \text{N}$ . Le matériau a une limite élastique $Re = 235\ \text{MPa}$ et le coefficient de sécurité retenu est $s = 2{,}5$ . Vérifier si le tirant résiste.

Correction

Aire de la section : $S = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi \times 12^2}{4} \approx 113{,}1\ \text{mm}^2$ .

Contrainte réelle : $\sigma = \dfrac{N}{S} = \dfrac{8000}{113{,}1} \approx 70{,}7\ \text{MPa}$ .

Contrainte admissible : $\sigma_{adm} = \dfrac{Re}{s} = \dfrac{235}{2{,}5} = 94\ \text{MPa}$ .

Comme σ (70,7 MPa) est inférieure à σadm (94 MPa), le tirant résiste : la condition de résistance est vérifiée, avec une marge suffisante.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une barre de section circulaire, d'aire $S = 100\ \text{mm}^2$ , est soumise à un effort normal de traction $N = 5000\ \text{N}$ . Calculer la contrainte normale σ dans la barre.

Voir la correction

$\sigma = \dfrac{N}{S} = \dfrac{5000}{100} = 50\ \text{N/mm}^2 = 50\ \text{MPa}$ .

Exercice 2

Moyen

Un matériau a une limite élastique $Re = 240\ \text{MPa}$ . Pour un coefficient de sécurité $s = 3$ , calculer la contrainte admissible σadm autorisée pour le dimensionnement d'une pièce dans ce matériau.

Voir la correction

$\sigma_{adm} = \dfrac{Re}{s} = \dfrac{240}{3} = 80\ \text{MPa}$ . La pièce doit être dimensionnée de sorte que la contrainte réelle en service reste inférieure ou égale à cette valeur.

Exercice 3

Difficile

Une poutre rectangulaire de section $b \times h = 20\ \text{mm} \times 40\ \text{mm}$ est soumise à un moment fléchissant $M_f = 120\ \text{N.m}$ . Sachant que le moment quadratique de la section vaut $I = \dfrac{b h^3}{12}$ et que la contrainte maximale de flexion vaut $\sigma_{max} = \dfrac{M_f \times v}{I}$ avec $v = h/2$ , calculer $\sigma_{max}$ .

Voir la correction

$I = \dfrac{20 \times 40^3}{12} = \dfrac{20 \times 64\,000}{12} \approx 106\,667\ \text{mm}^4$ . Avec $v = 20\ \text{mm}$ et $M_f = 120\,000\ \text{N.mm}$ : $\sigma_{max} = \dfrac{120\,000 \times 20}{106\,667} \approx 22{,}5\ \text{MPa}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre contrainte normale et contrainte tangentielle ?

La contrainte normale (notée σ, en MPa) agit perpendiculairement à la section droite d'une pièce — elle apparaît en traction, en compression et en flexion. La contrainte tangentielle, ou de cisaillement (notée τ), agit dans le plan de la section — elle apparaît principalement en torsion et lors d'un cisaillement pur. Les deux se comparent séparément à leurs limites admissibles respectives pour le matériau.

Qu'est-ce que le coefficient de sécurité en RDM ?

Le coefficient de sécurité s est le rapport entre la résistance limite du matériau (limite élastique Re, ou résistance à la rupture Rm) et la contrainte admissible retenue pour le dimensionnement : s = Re / σadm. Un coefficient de sécurité supérieur à 1 garantit une marge entre la contrainte réellement subie par la pièce en service et la limite qui provoquerait une déformation permanente ou une rupture.

Pourquoi la flexion combine-t-elle traction et compression dans une même section ?

En flexion simple, une poutre se courbe : les fibres situées d'un côté de la fibre neutre (celle qui ne change pas de longueur) s'allongent (elles sont en traction), tandis que les fibres de l'autre côté se raccourcissent (elles sont en compression). La contrainte normale de flexion varie donc linéairement dans la section, de −σmax à +σmax, en passant par zéro sur la fibre neutre.