Cinématique du Solide — Cours et Formules (Bac STM)

Objectifs d'apprentissage

Définir la trajectoire, la vitesse et l'accélération d'un point d'un solide en mouvement
Définir le vecteur vitesse de rotation ω d'un solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe
Établir et exploiter la relation du champ des vitesses d'un solide : V(B) = V(A) + ω × AB
Exploiter la relation v = ω·r pour un point en mouvement circulaire autour d'un axe fixe
Distinguer mouvement de translation (même vitesse pour tous les points) et mouvement de rotation (vitesse dépendant de la distance à l'axe)
Convertir une fréquence de rotation N (tr/min) en vitesse angulaire ω (rad/s)
Exploiter la condition de roulement sans glissement entre deux solides en contact

Formules et résultats clés

Translation et rotation

En translation, tous les points d'un solide ont, à chaque instant, rigoureusement la même vitesse (norme et direction). En rotationautour d'un axe fixe, tous les points partagent la même vitesse angulaire ω, mais leur vitesse linéaire dépend de leur distance à l'axe.

Vitesse d'un point en rotation

v = \omega \, r

Avec ω la vitesse angulaire (en rad/s) et r la distance du point à l'axe de rotation.

Conversion tr/min ↔ rad/s

\omega = \dfrac{2\pi N}{60}

Champ des vitesses d'un solide

\vec{V}(B) = \vec{V}(A) + \vec{\omega} \times \vec{AB}

Cette relation permet de calculer la vitesse de n'importe quel point B d'un solide indéformable, connaissant la vitesse d'un autre point A du même solide et sa vitesse de rotation ω.

Roulement sans glissement

La condition de roulement sans glissement impose une vitesse nulle au point de contact entre un solide roulant et son support. Pour une roue de rayon R : $v_{centre} = \omega\,R$ .

Erreurs fréquentes

Croire que tous les points d'un solide en rotation ont la même vitesse — seule leur vitesse angulaire ω est commune ; la vitesse linéaire v = ω·r dépend, elle, de la distance r à l'axe de rotation.

Confondre mouvement de translation (tous les points ont rigoureusement la même vitesse, en norme et en direction, à un instant donné) et mouvement de rotation (vitesses différentes selon la position du point par rapport à l'axe).

Oublier le terme ω × AB dans la relation du champ des vitesses V(B) = V(A) + ω × AB — une erreur fréquente consiste à écrire V(B) = V(A) alors que le solide est en rotation.

Confondre vitesse angulaire ω (en rad/s) et fréquence de rotation N (en tr/min) — toujours convertir avec ω = 2πN/60 avant d'utiliser une formule qui exige des rad/s.

Oublier d'exploiter la condition de roulement sans glissement (vitesse nulle au point de contact) lorsqu'elle est explicitement précisée dans un énoncé — elle relie directement la vitesse de translation du centre d'une roue à sa vitesse de rotation.

Exemple corrigé — Vitesse d'un point d'une manivelle

Énoncé

Une manivelle tourne à $N = 120\ \text{tr/min}$ autour d'un axe fixe. Un point situé à l'extrémité de la manivelle est à une distance $r = 0{,}15\ \text{m}$ de l'axe. 1) Calculer ω en rad/s. 2) Calculer la vitesse linéaire de ce point.

Correction

1) $\omega = \dfrac{2\pi \times 120}{60} = 4\pi \approx 12{,}57\ \text{rad/s}$ .

2) $v = \omega\,r = 12{,}57 \times 0{,}15 \approx 1{,}88\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un disque tourne à une fréquence $N = 300\ \text{tr/min}$ . Calculer sa vitesse angulaire ω en rad/s, puis la vitesse linéaire d'un point situé à $r = 0{,}1\ \text{m}$ de l'axe de rotation.

Voir la correction

$\omega = \dfrac{2\pi N}{60} = \dfrac{2\pi \times 300}{60} = 10\pi \approx 31{,}4\ \text{rad/s}$ . La vitesse linéaire vaut $v = \omega \times r = 31{,}4 \times 0{,}1 \approx 3{,}14\ \text{m/s}$ .

Exercice 2

Moyen

Une roue de rayon $R = 0{,}3\ \text{m}$ roule sans glisser sur un sol plan avec une vitesse angulaire $\omega = 20\ \text{rad/s}$ . Calculer la vitesse de translation de son centre.

Voir la correction

D'après la condition de roulement sans glissement, $v_{centre} = \omega \times R = 20 \times 0{,}3 = 6\ \text{m/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Pour la même roue que l'exercice précédent ( $R=0{,}3\ \text{m}$ , $\omega=20\ \text{rad/s}$ , roulement sans glissement), calculer, à l'aide du champ des vitesses, la vitesse du point le plus haut de la roue (diamétralement opposé au point de contact avec le sol).

Voir la correction

Le point de contact au sol a une vitesse nulle (roulement sans glissement). En appliquant le champ des vitesses entre le point de contact (vitesse nulle) et le point le plus haut (situé à une distance $2R$ du point de contact, dans la direction perpendiculaire à ω) : $v_{haut} = v_{contact} + \omega \times (2R) = 0 + 20 \times 0{,}6 = 12\ \text{m/s}$ , soit exactement le double de la vitesse du centre ( $6\ \text{m/s}$ ) — un résultat classique du roulement sans glissement.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Tous les points d'un solide en rotation ont-ils la même vitesse ?

Non. Tous les points d'un solide en rotation autour d'un axe fixe partagent la même vitesse angulaire ω, mais leur vitesse linéaire v = ω·r dépend de leur distance r à l'axe de rotation : un point éloigné de l'axe se déplace plus vite (en norme) qu'un point proche de l'axe, bien qu'ils tournent tous à la même vitesse angulaire. C'est très différent d'un mouvement de translation, où tous les points du solide ont rigoureusement la même vitesse, en norme et en direction, à un instant donné.

Que signifie la relation V(B) = V(A) + ω × AB ?

Cette relation, appelée champ des vitesses d'un solide, relie la vitesse d'un point B à celle d'un autre point A du même solide, connaissant le vecteur rotation ω du solide et le vecteur position AB entre les deux points. Elle permet de calculer la vitesse de n'importe quel point d'un solide indéformable dès que l'on connaît la vitesse d'un seul de ses points et sa vitesse de rotation — un outil essentiel pour analyser le mouvement des mécanismes.

Qu'est-ce que la condition de roulement sans glissement ?

La condition de roulement sans glissement impose que la vitesse du point de contact entre un solide roulant (une roue, par exemple) et son support soit nulle à chaque instant, exactement comme s'il n'y avait aucun frottement de glissement à cet endroit. Pour une roue de rayon R roulant sans glisser sur un sol plan, cette condition relie directement la vitesse de translation de son centre à sa vitesse de rotation par la relation v_centre = ω·R.