Numérisation du Signal — Échantillonnage, CAN, CNA (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Décrire la chaîne d'acquisition numérique : échantillonnage, quantification, codage (CAN) puis, en sortie, conversion numérique-analogique (CNA)
Énoncer le théorème de Shannon (fe ≥ 2·fmax) et justifier le rôle d'un filtre anti-repliement
Expliquer le phénomène de repliement de spectre (aliasing) en cas de sous-échantillonnage
Calculer le quantum (résolution) d'un CAN ou d'un CNA à n bits : q = Vref/2^n
Calculer la valeur numérique délivrée par un CAN pour une tension d'entrée donnée
Calculer la tension analogique délivrée par un CNA pour un mot binaire donné
Distinguer nombre de bits n (résolution) et nombre de niveaux de quantification 2^n
Définir le temps de conversion d'un CAN et son impact sur la fréquence d'échantillonnage maximale exploitable

Formules et résultats clés

La chaîne de numérisation

Numériser un signal analogique consiste à l'échantillonner (prélever sa valeur à intervalles de temps réguliers), puis à quantifier chaque échantillon (l'arrondir au niveau de tension discret le plus proche), et enfin à coder ce niveau en un mot binaire : c'est le rôle du CAN (Convertisseur Analogique-Numérique). L'opération inverse, restituer une tension analogique à partir d'un mot binaire, est assurée par le CNA (Convertisseur Numérique-Analogique).

Théorème de Shannon et repliement de spectre

f_e \geq 2\,f_{max}

Avec $f_e$ la fréquence d'échantillonnage et $f_{max}$ la fréquence la plus élevée contenue dans le signal analogique à numériser. Si cette condition n'est pas respectée, plusieurs fréquences distinctes du signal produisent, après échantillonnage, la même suite d'échantillons : c'est le repliement de spectre (aliasing), une erreur irréversible de reconstitution. Un filtre anti-repliement (passe-bas, coupure proche de $f_e/2$ ) est systématiquement placé avant l'échantillonneur pour garantir que Shannon est respecté.

Quantum d'un convertisseur n bits

q = \dfrac{V_{ref}}{2^{n}}

Avec $V_{ref}$ la tension de référence (pleine échelle) du convertisseur et n son nombre de bits. Le convertisseur distingue $2^{n}$ niveaux de tension distincts, chacun espacé de q : plus n est grand, plus q est petit, plus la résolution est fine.

Valeur numérique d'un CAN

N = \left\lfloor \dfrac{V_e}{q} \right\rfloor

Le CAN délivre le nombre entier N de quantums contenus dans la tension d'entrée Ve (troncature à la partie entière, pas d'arrondi). Un CNA effectue l'opération inverse : $V_s = N \\times q$, avec une tension de sortie qui ne peut jamais reproduire exactement Ve — l'écart, toujours inférieur à un quantum, est l'erreur de quantification.

Temps de conversion

Le temps de conversion d'un CAN est la durée nécessaire pour délivrer le mot numérique correspondant à un échantillon. Il impose une limite haute à la fréquence d'échantillonnage réellement exploitable : la période d'échantillonnage $T_e = 1/f_e$ doit rester supérieure au temps de conversion, faute de quoi le CAN ne peut pas suivre la cadence demandée.

Erreurs fréquentes

Confondre la condition de Shannon fe ≥ 2·fmax avec fe = fmax — sous-échantillonner provoque un repliement de spectre qui déforme irrémédiablement le signal reconstitué, ce n'est pas une simple perte de précision.

Croire que le quantum q = Vref/2^n diminue quand la résolution baisse : c'est l'inverse — plus n augmente, plus q diminue, plus la résolution s'améliore.

Confondre nombre de bits n et nombre de niveaux de quantification 2^n : un CAN 8 bits offre 256 niveaux, pas 8 niveaux.

Oublier que le CAN délivre le nombre entier de quantums contenus dans la tension d'entrée (troncature, pas d'arrondi) : N = partie entière de (Ve/q).

Oublier le filtre anti-repliement (passe-bas) placé avant l'échantillonneur, indispensable pour garantir que fmax reste bien inférieure à fe/2.

Exemple corrigé — Résolution et fréquence d'échantillonnage d'une chaîne d'acquisition

Énoncé

Un capteur de température délivre un signal analogique dont la fréquence maximale utile est $f_{max} = 2\ \text{Hz}$ . On l'acquiert avec un CAN 12 bits, $V_{ref} = 5\ \text{V}$ . 1) Calculer le quantum q du CAN. 2) Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale imposée par Shannon. 3) Calculer la valeur numérique N délivrée pour $V_e = 2{,}5\ \text{V}$ .

Correction

1) $q = \dfrac{V_{ref}}{2^{12}} = \dfrac{5}{4096} \approx 1{,}22\ \text{mV}$ .

2) $f_e \geq 2 f_{max} = 2 \times 2 = 4\ \text{Hz}$ (une fréquence très faible ici, ce qui rend l'acquisition triviale pour n'importe quel CAN standard).

3) $N = \left\lfloor \dfrac{2{,}5}{1{,}22\times 10^{-3}} \right\rfloor = \lfloor 2049{,}18 \rfloor = 2049$ , soit exactement la moitié de la pleine échelle $4096$ , ce qui est cohérent puisque $V_e = V_{ref}/2$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un CAN 10 bits utilise une tension de référence $V_{ref} = 10\ \text{V}$ . Calculer son quantum q, puis le nombre de niveaux de quantification disponibles.

Voir la correction

$q = \dfrac{V_{ref}}{2^{n}} = \dfrac{10}{2^{10}} = \dfrac{10}{1024} \approx 9{,}77\ \text{mV}$ . Le nombre de niveaux de quantification disponibles est $2^{10} = 1024$ .

Exercice 2

Moyen

Un signal audio contient des composantes fréquentielles jusqu'à $f_{max} = 20\ \text{kHz}$ . D'après le théorème de Shannon, quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale à utiliser ? Le standard audio CD utilise $f_e = 44{,}1\ \text{kHz}$ : ce choix respecte-t-il Shannon ?

Voir la correction

$f_e \geq 2 f_{max} = 2 \times 20 = 40\ \text{kHz}$ . Le standard $44{,}1\ \text{kHz}$ est bien supérieur à ce minimum de $40\ \text{kHz}$ , donc il respecte le théorème de Shannon (avec une marge pour faciliter le filtrage anti-repliement réel, qui n'est jamais parfaitement abrupt).

Exercice 3

Difficile

Un CAN 8 bits utilise $V_{ref} = 5\ \text{V}$ . Calculer la valeur numérique N (en décimal) délivrée pour une tension d'entrée $V_e = 3{,}2\ \text{V}$ , puis la tension reconstituée par un CNA identique à partir de ce mot numérique.

Voir la correction

$q = \dfrac{5}{2^8} = \dfrac{5}{256} \approx 0{,}01953\ \text{V}$ . $N = \left\lfloor \dfrac{V_e}{q} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{3{,}2}{0{,}01953} \right\rfloor = \lfloor 163{,}84 \rfloor = 163$ . La tension reconstituée par le CNA vaut $V_s = N \times q = 163 \times 0{,}01953 \approx 3{,}184\ \text{V}$ — proche de $3{,}2\ \text{V}$ mais pas exactement égale : c'est l'erreur de quantification, inférieure à un quantum.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Shannon et pourquoi est-il indispensable ?

Le théorème de Shannon (ou critère de Nyquist-Shannon) impose que la fréquence d'échantillonnage fe soit au moins égale au double de la fréquence maximale fmax contenue dans le signal analogique : fe ≥ 2·fmax. Si cette condition n'est pas respectée, plusieurs fréquences distinctes du signal original produisent après échantillonnage la même suite d'échantillons : c'est le repliement de spectre (aliasing), qui rend impossible la reconstitution fidèle du signal d'origine — une erreur irréversible, pas seulement une perte de précision.

Comment calculer le quantum d'un convertisseur à n bits ?

Le quantum (ou pas de quantification) q d'un convertisseur n bits avec une tension de référence Vref vaut q = Vref / 2^n. C'est la plus petite variation de tension analogique que le convertisseur peut distinguer : plus n est grand, plus 2^n de niveaux sont disponibles, plus q est petit, et plus la résolution du convertisseur est fine.

Pourquoi place-t-on un filtre anti-repliement avant un échantillonneur ?

Un filtre anti-repliement est un filtre passe-bas placé juste avant l'échantillonnage, réglé pour éliminer toute composante fréquentielle du signal au-delà de fe/2. Il garantit ainsi que la condition de Shannon (fe ≥ 2·fmax) est réellement respectée, même si le signal d'entrée contenait initialement du bruit ou des composantes à haute fréquence qui auraient sinon provoqué un repliement de spectre lors de la numérisation.