Dipôle RL — Cours, Formules, Exercices (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle vérifiée par i(t) lors de l'établissement du courant dans une bobine (L, r) associée en série à un résistor R
Vérifier que i(t) = E/(R+r)·(1 − e^(−t/τ)) est solution de cette équation différentielle
Définir la constante de temps τ = L/(R+r) et l'exprimer avec les bonnes unités (henry, ohm, seconde)
Décrire la rupture du courant et exploiter la loi i(t) = I₀·e^(−t/τ)
Exploiter la continuité de l'intensité i(t) à travers une bobine, contrairement à la tension à ses bornes
Calculer l'énergie emmagasinée dans une bobine E_L = ½Li²
Relier la surtension à l'ouverture d'un circuit inductif au risque d'arc électrique dans les installations électrotechniques

Formules et résultats clés

Établissement du courant

On associe en série un résistor R et une bobine (inductance L, résistance interne r) sous une tension d'échelon E. La loi des mailles ( $E = u_R + u_L$ avec $u_R=(R+r)i$ et $u_L = L\dfrac{di}{dt}$ ) donne l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par $i(t)$ :

$L\dfrac{di}{dt} + (R+r)\,i = E$

Sa solution, avec la condition initiale $i(0) = 0$ , est :

$i(t) = \dfrac{E}{R+r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec } \tau = \dfrac{L}{R+r}$

Continuité du courant, discontinuité de u_L

À la fermeture du circuit, $i(0^+) = i(0^-) = 0$ (continuité de l'intensité), donc toute la tension E apparaît instantanément aux bornes de la bobine : $u_L(0^+) = E$ . C'est u_L, et non i, qui subit un saut à $t=0$ — l'exact opposé du dipôle RC, où c'était $u_C$ la grandeur continue.

Rupture du courant et surtension

Une fois le régime permanent atteint (i = I₀ = E/(R+r)), on supprime le générateur en refermant le circuit sur lui-même (second membre nul) :

$L\dfrac{di}{dt} + (R+r)\,i = 0 \ \Longrightarrow \ i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$

Si le circuit est ouvert brutalement sans trajet de substitution pour le courant — par exemple à la coupure d'un contacteur alimentant un bobinage de moteur ou de relais — la bobine génère une surtension susceptible de provoquer un arc électrique au niveau de l'interrupteur. C'est pour absorber cette surtension que les circuits de commande industriels placent souvent une diode de roue libre en parallèle de la charge inductive.

Énergie emmagasinée

Une bobine parcourue par un courant d'intensité i emmagasine une énergie sous forme magnétique : $E_L = \dfrac{1}{2}Li^2$ (en joules, avec L en henrys et i en ampères).

Erreurs fréquentes

Confondre la grandeur continue : c'est l'intensité i(t) dans la bobine qui ne subit jamais de discontinuité — pas la tension u_L à ses bornes, qui peut sauter brutalement (à l'inverse du dipôle RC, où c'était u_C qui était continue).

Oublier la résistance interne r de la bobine dans l'équation différentielle : le second membre et la constante de temps dépendent de (R + r), pas de R seul.

Confondre τ = L/(R+r) avec τ = RC du dipôle RC — attention à l'homogénéité : un henry divisé par un ohm donne bien une seconde, jamais un henry multiplié par un ohm.

Se tromper de second membre dans l'équation de la rupture du courant : il est nul, alors que celui de l'établissement vaut E.

Oublier les unités : τ n'est homogène à une seconde que si L est en henrys (H) et (R+r) en ohms (Ω) — attention aux préfixes (mH, kΩ).

Exemple corrigé — Établissement du courant

Énoncé

Un dipôle RL série comprend une bobine d'inductance $L = 0{,}6\ \text{H}$ et de résistance interne $r = 20\ \Omega$ , associée à un résistor $R = 80\ \Omega$ , sous une tension d'échelon $E = 6\ \text{V}$ . 1) Calculer la constante de temps τ. 2) Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ . 3) Calculer $i(\tau)$ . 4) Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent.

Correction

1) $R+r = 100\ \Omega$ , donc $\tau = \dfrac{L}{R+r} = \dfrac{0{,}6}{100} = 6\times 10^{-3}\ \text{s} = 6\ \text{ms}$ .

2) $I_{max} = \dfrac{E}{R+r} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06\ \text{A} = 60\ \text{mA}$ .

3) $i(\tau) = I_{max}(1-e^{-1}) = 60 \times 0{,}632 \approx 37{,}9\ \text{mA}$ .

4) $E_L = \dfrac{1}{2}L\,I_{max}^2 = 0{,}5 \times 0{,}6 \times (0{,}06)^2 = 1{,}08\times 10^{-3}\ \text{J} \approx 1{,}08\ \text{mJ}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bobine d'inductance $L = 0{,}4\ \text{H}$ et de résistance interne négligeable est associée en série à un résistor $R = 80\ \Omega$ . Calculer la constante de temps τ du circuit.

Voir la correction

$\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}4}{80} = 5\times 10^{-3}\ \text{s} = 5\ \text{ms}$ .

Exercice 2

Moyen

Un dipôle RL de résistance totale $R+r = 250\ \Omega$ établit un courant sous une tension d'échelon $E = 10\ \text{V}$ . Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ , puis l'intensité $i(\tau)$ à l'instant $t=\tau$ .

Voir la correction

$I_{max} = \dfrac{E}{R+r} = \dfrac{10}{250} = 0{,}04\ \text{A} = 40\ \text{mA}$ . À $t=\tau$ : $i(\tau) = I_{max}(1-e^{-1}) = 40 \times 0{,}632 \approx 25{,}3\ \text{mA}$ .

Exercice 3

Difficile

Lors de la rupture du courant dans un dipôle RL de résistance totale $R+r = 400\ \Omega$ , le courant établi valait $I_0 = 30\ \text{mA}$ . On mesure $i = 11{,}1\ \text{mA}$ à l'instant $t = 6\ \text{ms}$ après la rupture. Déterminer τ, puis en déduire l'inductance $L$ .

Voir la correction

$i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$ , donc $e^{-t/\tau} = \dfrac{11{,}1}{30} = 0{,}37 \approx e^{-1}$ , soit $\dfrac{t}{\tau} \approx 1$ et $\tau \approx 6\ \text{ms}$ . On en déduit $L = \tau(R+r) = 6\times 10^{-3} \times 400 = 2{,}4\ \text{H}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle grandeur électrique reste continue dans un dipôle RL ?

C'est l'intensité i(t) du courant qui traverse la bobine qui est une fonction continue du temps — elle ne peut jamais subir de saut brutal. En revanche, la tension u_L aux bornes de la bobine peut, elle, être discontinue (par exemple à la fermeture du circuit).

Pourquoi une étincelle apparaît-elle à l'ouverture d'un contacteur commandant un moteur ou un relais ?

Le bobinage d'un moteur ou d'un relais se comporte comme une bobine : il s'oppose à toute variation brutale du courant qui le traverse. Si l'on ouvre brusquement le contact, la bobine tente de maintenir i(t) en générant une surtension importante, suffisante pour amorcer un arc électrique au niveau du contact — un phénomène que les circuits de protection (diode de roue libre, varistance) doivent absorber dans les installations électrotechniques.

Qu'est-ce que la constante de temps τ = L/(R+r) ?

τ = L/(R+r) est le temps caractéristique du régime transitoire d'un circuit RL, exprimé en secondes si L est en henrys et (R+r) en ohms. Après environ 5τ, le courant est considéré comme ayant atteint son régime permanent.