Dipôle RC — Cours, Formules, Exercices (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle vérifiée par uC(t) lors de la charge d'un condensateur à travers un résistor
Vérifier que uC(t) = E(1 − e^(−t/τ)) est solution de cette équation différentielle
Définir la constante de temps τ = RC et l'exprimer avec les bonnes unités
Décrire la décharge du condensateur et exploiter la loi uC(t) = E·e^(−t/τ)
Déterminer τ graphiquement par la méthode de la tangente à l'origine
Exprimer et exploiter l'intensité i(t) du courant pendant la charge et la décharge
Relier le comportement transitoire du circuit RC aux circuits de commande étudiés en électronique de puissance

Formules et résultats clés

Charge du condensateur

On associe en série un résistor R et un condensateur C sous une tension d'échelon E. En appliquant la loi des mailles ( $E = u_R + u_C$ ) et la relation $i = C\dfrac{du_C}{dt}$ , on obtient l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par $u_C(t)$ :

$RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E$

Sa solution, avec la condition initiale $u_C(0) = 0$ , est :

$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec } \tau = RC$

Constante de temps

τ = RC (en secondes si R est en ohms et C en farads) est le temps caractéristique du régime transitoire. Après environ 5τ, le condensateur est considéré comme totalement chargé. À $t = \tau$ , $u_C = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$ (63 % de E).

Décharge du condensateur

Une fois chargé (u_C(0) = E), on relie le condensateur au résistor seul (second membre nul) :

$RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0 \ \Longrightarrow \ u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$

À $t = \tau$ , $u_C = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E$ (37 % de E). L'intensité du courant vaut, dans les deux régimes, $i(t) = C\dfrac{du_C}{dt}$ , soit $i(t) = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$ pendant la charge (et $i(t) = -\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$ pendant la décharge).

Méthode de la tangente à l'origine

La tangente à la courbe $u_C(t)$ au point $t = 0$ coupe l'asymptote horizontale ( $u_C = E$ pour une charge, $u_C = 0$ pour une décharge) en un point dont l'abscisse est exactement $\tau$ . C'est le moyen graphique standard pour déterminer τ à partir d'un chronogramme expérimental, par exemple relevé à l'oscilloscope.

Erreurs fréquentes

Oublier que la tension aux bornes du condensateur uC est une fonction continue du temps — elle ne peut jamais subir de discontinuité, même à l'instant de fermeture du circuit.

Confondre la constante de temps τ = RC avec la durée totale de la charge — le régime permanent n'est atteint qu'au bout d'environ 5τ, jamais exactement (la fonction exponentielle ne s'annule jamais complètement).

Se tromper de second membre dans l'équation différentielle de la décharge : il est nul, alors que celui de la charge vaut E.

Mal placer la tangente à l'origine sur un graphe, ou lire son intersection avec l'asymptote à un autre instant que t = τ.

Oublier les unités : τ n'est homogène à une seconde que si R est en ohms et C en farads — attention aux préfixes (µF, nF, kΩ).

Exemple corrigé — Charge d'un condensateur

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 4\ \mu\text{F}$ se charge à travers un résistor $R = 2\ \text{k}\Omega$ sous une tension d'échelon $E = 10\ \text{V}$ . Calculer la constante de temps τ, la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$ , puis l'instant où $u_C$ atteint $8\ \text{V}$ .

Correction

$\tau = RC = 2000 \times 4\times 10^{-6} = 8\times 10^{-3}\ \text{s} = 8\ \text{ms}$ .

À $t=\tau$ : $u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) = 10 \times 0{,}632 \approx 6{,}32\ \text{V}$ .

Pour $u_C = 8\ \text{V}$ : $8 = 10\left(1-e^{-t/\tau}\right) \Rightarrow e^{-t/\tau} = 1 - \dfrac{8}{10} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow t = \tau \ln 5 = 8 \times 1{,}609 \approx 12{,}9\ \text{ms}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un condensateur de capacité $C = 10\ \mu\text{F}$ est associé en série à un résistor $R = 200\ \Omega$ . Calculer la constante de temps τ du circuit.

Voir la correction

$\tau = RC = 200 \times 10\times 10^{-6} = 2\times 10^{-3}\ \text{s} = 2\ \text{ms}$ .

Exercice 2

Moyen

Un condensateur se charge sous une tension d'échelon $E = 12\ \text{V}$ à travers un circuit de constante de temps $\tau = 5\ \text{ms}$ . Calculer la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$ .

Voir la correction

$u_C(\tau) = E\left(1 - e^{-1}\right) = 12 \times (1 - 0{,}368) = 12 \times 0{,}632 \approx 7{,}58\ \text{V}$ , soit environ $63\%$ de $E$ .

Exercice 3

Difficile

Lors de la décharge d'un condensateur sous une tension initiale $E = 9\ \text{V}$ à travers une résistance $R = 2\ \text{k}\Omega$ , on mesure $u_C = 3{,}3\ \text{V}$ à l'instant $t = 4\ \text{ms}$ . Déterminer la constante de temps τ, puis en déduire la capacité $C$ du condensateur.

Voir la correction

Pour une décharge, $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ , donc $e^{-t/\tau} = \dfrac{3{,}3}{9} \approx 0{,}367$ . Or $e^{-1} \approx 0{,}368$ , donc $\dfrac{t}{\tau} \approx 1$ , soit $\tau \approx 4\ \text{ms}$ . On en déduit $C = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{4\times 10^{-3}}{2000} = 2\times 10^{-6}\ \text{F} = 2\ \mu\text{F}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur qui se charge ?

En appliquant la loi des mailles à un circuit RC série sous tension d'échelon E, on obtient RC·(duC/dt) + uC = E, une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont la solution est uC(t) = E(1 − e^(−t/τ)) avec τ = RC.

Pourquoi ce chapitre est-il central pour un futur technicien en électronique de puissance ?

Le circuit RC est le circuit de charge/décharge le plus simple, mais son comportement transitoire (temps de charge, constante de temps) se retrouve directement dans les circuits de commande des hacheurs et onduleurs étudiés en Sciences de l'Ingénieur STE, ainsi que dans le filtrage et la mise en forme de signaux en électronique.

Comment déterminer τ graphiquement par la méthode de la tangente à l'origine ?

On trace la tangente à la courbe uC(t) au point t = 0. Cette tangente coupe l'asymptote horizontale (uC = E pour une charge, uC = 0 pour une décharge) en un point dont l'abscisse est exactement égale à τ. C'est la méthode graphique de référence pour lire τ sur un chronogramme.