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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Limites et continuité — Cours Maths Bac SGC

Calculer une limite, lever une forme indéterminée, déterminer les asymptotes d'une courbe (par exemple un coût de revient unitaire) et exploiter la continuité via le TVI.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Les limites ouvrent le programme d'analyse et décrivent le comportement à long terme d'une fonction de coût ou de résultat.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction : recherche des asymptotes d'un coût de revient unitaire $C(x)/x$, comportement en $+\infty$, et usage du TVI pour justifier l'existence d'un seuil (de rentabilité, d'équilibre).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ par factorisation ou terme dominant
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique d'une courbe
  • Interpréter une asymptote en gestion (coût unitaire limite, saturation)
  • Appliquer le TVI pour justifier l'existence d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0. Pour une fonction rationnelle, la limite en +∞+\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty : on factorise par le terme dominant ou on simplifie une fraction après factorisation.

Asymptotes et interprétation

Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡+∞f=ℓ\lim_{+\infty}f=\ell ; oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡+∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0. Pour un coût de revient unitaire C(x)x\dfrac{C(x)}{x}, l'asymptote donne le coût unitaire de long terme.

TVI

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk est entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k a au moins une solution ; si ff est de plus strictement monotone, elle est unique.

Erreurs fréquentes

1

Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : forme indéterminée à lever.

2

Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité.

3

Conclure à l'unicité d'un seuil sans la stricte monotonie.

4

Confondre la limite du coût unitaire et celle du coût total.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞3x2−2x+1x2+x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x^2+x} puis lim⁡x→2x2−3x+2x2−4\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4}.

Correction

Première limite. Quotient des termes de plus haut degré : 3x2x2=3\dfrac{3x^2}{x^2}=3, donc la limite est 33.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2=(x-1)(x-2) et x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2).
Pour x≠2x\neq 2 : x2−3x+2x2−4=x−1x+2\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\dfrac{x-1}{x+2}.
Donc lim⁡x→2x2−3x+2x2−4=14\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\dfrac{1}{4}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞4x2+x2x2−5\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2+x}{2x^2-5} et lim⁡x→+∞2x−1x2+3\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-1}{x^2+3}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 4x22x2→2\dfrac{4x^2}{2x^2}\to 2 ; 2xx2=2x→0\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Le coût total est C(x)=0,4x2+6x+90C(x)=0{,}4x^2+6x+90 pour x>0x>0 unités. Déterminer l'asymptote oblique du coût de revient unitaire C(x)x\dfrac{C(x)}{x} et l'interpréter.
Voir la correction
C(x)x=0,4x+6+90x\dfrac{C(x)}{x}=0{,}4x+6+\dfrac{90}{x}. Comme 90x→0\dfrac{90}{x}\to 0, la droite y=0,4x+6y=0{,}4x+6 est asymptote oblique en +∞+\infty. À grande échelle, la part des charges fixes (9090) devient négligeable dans le coût unitaire.

Exercice 3

Difficile
Le résultat cumulé après xx mois d'activité est modélisé par R(x)=x3+3x−20R(x)=x^3+3x-20 (en milliers de DH), pour x≥0x\ge 0. Montrer qu'il existe un unique mois α\alpha où le résultat cumulé s'annule (point mort), et que 2<α<32<\alpha<3.
Voir la correction
RR est un polynôme, donc continue et dérivable, et R′(x)=3x2+3>0R'(x)=3x^2+3>0 : RR est strictement croissante, donc réalise une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[ sur [−20,+∞[[-20,+\infty[. Comme 0∈[−20,+∞[0\in[-20,+\infty[, l'équation R(x)=0R(x)=0 a une unique solution α\alpha. R(2)=8+6−20=−6<0R(2)=8+6-20=-6<0 et R(3)=27+9−20=16>0R(3)=27+9-20=16>0, donc par le TVI 2<α<32<\alpha<3.

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en +∞ ?

On garde le quotient des termes de plus haut degré : degrés égaux → quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand → +∞ ; plus petit → 0.

Comment interpréter une asymptote en gestion ?

L'asymptote d'un coût de revient unitaire décrit le coût par unité quand la production devient très grande, une fois les charges fixes diluées.

À quoi sert le TVI ?

À prouver l'existence d'un seuil (rentabilité, équilibre) : une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois sur l'intervalle.

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