Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac SGC

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, fréquemment posé dans un cadre de contrôle comptable ou de sondage.

À l'épreuve

Un exercice type : dénombrer des tirages (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales (deux fournisseurs, deux services), définir une variable aléatoire X (nombre d'anomalies), donner sa loi, son espérance ; parfois une loi binomiale B(n, p).

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Indépendance :

P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Loi binomiale

Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Appliquer la loi binomiale sans indépendance ou avec p non constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de

15

factures contient

4

factures comportant une erreur. On en vérifie

3

au hasard, simultanément. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

1

facture erronée.

Correction

Nombre total de vérifications :

\dbinom{15}{3}=455

Cas favorables : choisir

1

facture erronée parmi

4

2

correctes parmi

11

\dbinom{4}{1}\times\dbinom{11}{2}=4\times 55=220

P(\text{exactement 1 erronée})=\dfrac{220}{455}

En simplifiant par

5

P=\dfrac{44}{91}\approx 0{,}484

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien de codes de

3

chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de

1

8

Voir la correction

L'ordre compte, sans répétition :

A_8^{3}=8\times 7\times 6=336

Exercice 2

Moyen

Une entreprise s'approvisionne à

70\%

chez le fournisseur X et à

30\%

chez Y.

4\%

des articles de X et

10\%

de ceux de Y sont défectueux. Un article défectueux est trouvé : quelle est la probabilité qu'il vienne de Y ?

Voir la correction

P(X)=0{,}7

P(D\mid X)=0{,}04

P(D\mid Y)=0{,}10

P(D)=0{,}7\times 0{,}04+0{,}3\times 0{,}10=0{,}028+0{,}030=0{,}058

. Bayes :

P(Y\mid D)=\dfrac{0{,}030}{0{,}058}\approx 0{,}52

Exercice 3

Difficile

Un contrôle porte sur

6

écritures comptables indépendantes, chacune erronée avec probabilité

0{,}25

. Soit

X

le nombre d'écritures erronées. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 1)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}(6,\ 0{,}25)

P(X=k)=\dbinom{6}{k}(0{,}25)^{k}(0{,}75)^{6-k}

E(X)=np=6\times 0{,}25=1{,}5

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0{,}75)^6=1-0{,}177979\approx 0{,}822

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (code, classement) → arrangement Aₙᵖ. Ordre indifférent (échantillon, vérification simultanée) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (fournisseurs, services, catégories) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (conforme / non conforme) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de non-conformités suit B(n, p), d'espérance np.