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Physique-Chimie · Bac Agro · Coefficient 5

Dipôle RC — Cours Physique Bac Agro

Charge et décharge d'un condensateur à travers un résistor : q = C·u_C, i = C·du_C/dt, équation différentielle du 1er ordre, constante de temps τ = RC, énergie ½C·u_C².

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 5 en Bac Sciences Agronomiques. Le dipôle RC ouvre l'électricité du programme allégé (22 chapitres) et applique le cours de Mathématiques (coefficient 7) sur les équations différentielles y′ = ay + b.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle de u_C (loi des mailles + q = C·u_C + i = dq/dt), vérifier la solution proposée, exploiter τ (tangente à l'origine, 63 % du régime permanent en charge), calculer l'énergie stockée.

Objectifs d'apprentissage

  • Relier charge, tension et intensité : q = C·u_C et i = C·(du_C/dt)
  • Établir l'équation différentielle de u_C en charge et en décharge
  • Vérifier qu'une expression proposée est solution de l'équation différentielle
  • Déterminer la constante de temps τ = RC graphiquement et par le calcul
  • Calculer l'énergie stockée dans le condensateur : ½C·u_C²

Notions clés

Relations de base

q=C uCq=C\,u_C (CC en farads). i=dqdt=C duCdti=\dfrac{dq}{dt}=C\,\dfrac{du_C}{dt}. Aux bornes du résistor : uR=R iu_R=R\,i. La tension uCu_C est continue.

Équation différentielle et solution (charge)

E=uR+uC=RC duCdt+uCE=u_R+u_C=RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C, soit duCdt+1τuC=Eτ\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}, τ=RC\tau=RC. Avec uC(0)=0u_C(0)=0 : uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right). Décharge : uC(t)=U0 e−t/τu_C(t)=U_0\,e^{-t/\tau}.

Constante de temps et énergie

τ=RC\tau=RC (en s : Ω⋅F=s\Omega\cdot\text{F}=\text{s}). En charge, uCu_C atteint 63 %63\,\% de EE à t=τt=\tau ; régime permanent à 5τ5\tau. Énergie : EC=12C uC 2\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C\,u_C^{\,2}.

Erreurs fréquentes

1

Écrire i = C·u_C au lieu de i = C·(du_C/dt) : l'intensité dépend de la variation de u_C.

2

Se tromper d'homogénéité : τ = RC est une durée (Ω·F = s).

3

Oublier la condition initiale : la solution générale seule ne suffit pas.

Exemple corrigé

Énoncé

Un condensateur C=22 μFC=22\ \mu\text{F} initialement déchargé est chargé à travers R=10 kΩR=10\ \text{k}\Omega sous E=5,0 VE=5{,}0\ \text{V}. Déterminer τ\tau, l'expression de uC(t)u_C(t), la durée pratique de charge et l'énergie finale stockée.

Correction

Constante de temps. τ=RC=10×103×22×10−6=0,22 s\tau=RC=10\times10^{3}\times22\times10^{-6}=0{,}22\ \text{s}.
Solution. uC(t)=5,0(1−e−t/0,22)u_C(t)=5{,}0\left(1-e^{-t/0{,}22}\right) (en volts).
Durée pratique. 5τ≈1,1 s5\tau\approx 1{,}1\ \text{s}.
Énergie finale. EC=12CE2=12×22×10−6×25=2,75×10−4 J\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C E^{2}=\dfrac{1}{2}\times22\times10^{-6}\times25=2{,}75\times10^{-4}\ \text{J}.

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Exercice 1

Facile
Un dipôle RC a τ=10 ms\tau=10\ \text{ms} avec R=2,0 kΩR=2{,}0\ \text{k}\Omega. Calculer CC.
Voir la correction
C=τR=10×10−32,0×103=5,0×10−6 F=5,0 μFC=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{10\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{3}}=5{,}0\times10^{-6}\ \text{F}=5{,}0\ \mu\text{F}.

Exercice 2

Moyen
Lors d'une décharge, uC(t)=8,0 e−t/τu_C(t)=8{,}0\,e^{-t/\tau} avec τ=0,40 s\tau=0{,}40\ \text{s}. À quel instant a-t-on uC=8,0 e−1,5u_C=8{,}0\,e^{-1{,}5} ?
Voir la correction
8,0 e−t/τ=8,0 e−1,5⇒tτ=1,5⇒t=1,5τ=0,60 s8{,}0\,e^{-t/\tau}=8{,}0\,e^{-1{,}5}\Rightarrow \dfrac{t}{\tau}=1{,}5\Rightarrow t=1{,}5\tau=0{,}60\ \text{s} (valeur : uC≈1,8 Vu_C\approx 1{,}8\ \text{V}).

Exercice 3

Difficile
Vérifier que uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right) est solution de τduCdt+uC=E\tau\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E, puis calculer l'énergie stockée en régime permanent pour E=5,0 VE=5{,}0\ \text{V}, C=22 μFC=22\ \mu\text{F}.
Voir la correction
duCdt=Eτe−t/τ\dfrac{du_C}{dt}=\dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau}, donc τduCdt+uC=E e−t/τ+E(1−e−t/τ)=E\tau\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E\,e^{-t/\tau}+E\left(1-e^{-t/\tau}\right)=E pour tout tt. En régime permanent uC→Eu_C\to E, d'où EC=12CE2=12×22×10−6×25=2,75×10−4 J\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C E^{2}=\dfrac{1}{2}\times22\times10^{-6}\times25=2{,}75\times10^{-4}\ \text{J}.

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Questions fréquentes

Comment lire graphiquement la constante de temps τ ?

La tangente à u_C(t) en t = 0 coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse t = τ ; ou bien on lit l'instant où u_C atteint 63 % de sa valeur finale (charge), ou est tombée à 37 % (décharge).

Quel est le lien avec le cours de maths sur les équations différentielles ?

L'équation du dipôle RC est du type y′ = ay + b, avec a = −1/τ et b = E/τ. Sa solution générale est y = K·e^(at) − b/a ; la condition initiale u_C(0) fixe K.

Que devient l'énergie fournie par le générateur pendant la charge ?

Le générateur fournit C·E² : la moitié est stockée dans le condensateur (½C·E²), l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor, quelle que soit la valeur de R.

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