OrkaOrka/Bac/Sciences Agronomiques
Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Suites numériques — Cours Maths Bac Agro

Récurrence, suites arithmétiques et géométriques, et l'étude des suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) : bornes, monotonie, convergence vers un point fixe.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les suites sont le premier chapitre où la rédaction d'une récurrence est notée pour elle-même ; elles reviennent avec le logarithme, l'exponentielle et les intégrales.

À l'épreuve

Une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), qu'on encadre par récurrence, dont on étudie la monotonie (signe de uₙ₊₁ − uₙ), puis on conclut par le théorème de la limite monotone ; la limite se calcule par ℓ = f(ℓ). Une suite auxiliaire permet souvent d'expliciter uₙ.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Rédiger une démonstration par récurrence
  • Encadrer une suite récurrente et étudier son sens de variation
  • Appliquer le théorème de la limite monotone et calculer la limite par ℓ = f(ℓ)
  • Utiliser une suite auxiliaire (géométrique, ou 1/uₙ) pour expliciter uₙ

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1).

Récurrence

Pour montrer P(n)P(n) pour tout n≥n0n\ge n_0 : initialisation (P(n0)P(n_0)), hérédité (P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)), conclusion.

Limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Si ff est continue en ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Suite auxiliaire

Si un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b (a≠1a\neq 1) : wn=un−b1−aw_n=u_n-\dfrac{b}{1-a} est géométrique de raison aa. Parfois on pose tn=1unt_n=\dfrac{1}{u_n} pour se ramener à une suite affine.

Erreurs fréquentes

1

Oublier l'initialisation dans une récurrence.

2

Annoncer la limite d'une suite récurrente sans avoir prouvé la convergence.

3

Utiliser dans l'hérédité une propriété non encore établie.

4

Confondre « majorée » et « convergente ».

Exemple corrigé

Énoncé

Soit (un)(u_n) : u0=0u_0=0 et un+1=3un+4u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}. Montrer que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction

Encadrement. Récurrence : 0≤un≤40\le u_n\le 4. Init. u0=0∈[0,4]u_0=0\in[0,4]. Hérédité : si 0≤un≤40\le u_n\le 4, alors 4≤3un+4≤164\le 3u_n+4\le 16, donc 2≤un+1≤42\le u_{n+1}\le 4, en particulier 0≤un+1≤40\le u_{n+1}\le 4.
Monotonie. Sur [0,4][0,4] : 3x+4≥x  ⟺  3x+4≥x2  ⟺  x2−3x−4≤0  ⟺  (x−4)(x+1)≤0\sqrt{3x+4}\ge x \iff 3x+4\ge x^2 \iff x^2-3x-4\le 0 \iff (x-4)(x+1)\le 0, vrai. Donc (un)(u_n) est croissante.
Convergence. Croissante et majorée par 44 ⇒\Rightarrow (un)(u_n) converge vers ℓ∈[0,4]\ell\in[0,4].
Limite. ℓ=3ℓ+4\ell=\sqrt{3\ell+4}, soit ℓ2−3ℓ−4=0\ell^2-3\ell-4=0 avec ℓ≥0\ell\ge 0 : ℓ=4\ell=4.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac Agro, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=3u_0=3 et de raison q=2q=2. Calculer u7u_7 et S=u0+u1+⋯+u7S=u_0+u_1+\dots+u_7.
Voir la correction
u7=3×27=384u_7=3\times 2^7=384. S=u01−q81−q=3×1−2561−2=3×255=765S=u_0\dfrac{1-q^8}{1-q}=3\times\dfrac{1-256}{1-2}=3\times 255=765.

Exercice 2

Moyen
v0=0v_0=0 et vn+1=12vn+6v_{n+1}=\tfrac12 v_n+6. On pose wn=vn−12w_n=v_n-12. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique, en déduire vnv_n et sa limite.
Voir la correction
wn+1=12vn+6−12=12(vn−12)=12wnw_{n+1}=\tfrac12 v_n+6-12=\tfrac12(v_n-12)=\tfrac12 w_n : (wn)(w_n) est géométrique de raison 12\tfrac12, w0=−12w_0=-12. Donc wn=−12(12)nw_n=-12\left(\tfrac12\right)^n et vn=12−12(12)nv_n=12-12\left(\tfrac12\right)^n, qui tend vers 1212.

Exercice 3

Difficile
u0=2u_0=2 et un+1=2unun+1u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+1}. Montrer que un>0u_n>0, que tn=1unt_n=\dfrac{1}{u_n} vérifie tn+1=12tn+12t_{n+1}=\tfrac12 t_n+\tfrac12, puis expliciter unu_n et lim⁡un\lim u_n.
Voir la correction
Par récurrence un>0u_n>0. Alors tn+1=un+12un=12+12un=12tn+12t_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2u_n}=\dfrac12+\dfrac{1}{2u_n}=\tfrac12 t_n+\tfrac12. Point fixe : t=1t=1. La suite sn=tn−1s_n=t_n-1 vérifie sn+1=12sns_{n+1}=\tfrac12 s_n, avec s0=12−1=−12s_0=\tfrac12-1=-\tfrac12, donc sn=−(12)n+1s_n=-\left(\tfrac12\right)^{n+1} et tn=1−(12)n+1t_n=1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}. Ainsi un=11−(12)n+1u_n=\dfrac{1}{1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}}, qui tend vers 11.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

On l'encadre par récurrence, on montre qu'elle est monotone (signe de uₙ₊₁ − uₙ), puis on applique le théorème de la limite monotone. La limite se trouve en résolvant ℓ = f(ℓ).

Quand poser tₙ = 1/uₙ ?

Quand la relation uₙ₊₁ = uₙ/(a·uₙ + b) devient affine en 1/uₙ. On explicite alors tₙ (souvent via une suite auxiliaire géométrique) puis on revient à uₙ.

Une suite bornée est-elle convergente ?

Pas nécessairement (uₙ = (−1)ⁿ). Il faut la monotonie : une suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.

À lire aussi

Limites et continuité — Bac AgroCalcul intégral — Bac AgroProgramme de Mathématiques Bac Agro