OrkaOrka/البكالوريا/العلوم الاقتصادية
ابدأ الآن
الرياضيات · Bac Éco · المعامل 4

المتتاليات العددية — درس الرياضيات لبكالوريا العلوم الاقتصادية

المتتاليات الحسابية والهندسية، والبرهان بالتراجع، ودراسة متتالية رجعية من الشكل $u_{n+1}=f(u_n)$ وصولاً إلى نهايتها؛ وهو تمرين مألوف في الامتحان الوطني لشعبة العلوم الاقتصادية.

راجعه Équipe Orka · 29 غشت 2026

ضمن برنامج بكالوريا Éco

يدرس فصل المتتاليات العددية ضمن برنامج الرياضيات لشعبة العلوم الاقتصادية. وتعاد مفاهيمه في دراسة الدوال وحل المسائل وتمارين الامتحان الوطني.

في الامتحان

يأتي هذا الدرس كثيراً في تمرين مستقل: تُعرّف متتالية مساعدة، غالباً هندسية، انطلاقاً من متتالية رجعية؛ ثم يُطلب إثبات حصر أو رتابة بالتراجع، وبعد ذلك تبرير التقارب وحساب النهاية بحل المعادلة $\ell=f(\ell)$.

أهداف التعلم

  • تمييز المتتالية الحسابية أو الهندسية وتحديد حدها العام ومجموع حدودها الأولى
  • دراسة اتجاه تغير متتالية باستعمال إشارة $u_{n+1}-u_n$ أو النسبة $u_{n+1}/u_n$ عندما تكون حدودها موجبة
  • إثبات خاصية لكل عدد طبيعي $n$ بالتراجع: التحقق الابتدائي، والانتقال، ثم الاستنتاج
  • حصر متتالية رجعية من الشكل $u_{n+1}=f(u_n)$ ودراسة رتابتها
  • تبرير التقارب باستعمال مبرهنة تقارب المتتاليات الرتيبة وحساب النهاية من المعادلة $\ell=f(\ell)$

المفاهيم الأساسية

الصيغ الأساسية

للمتتالية الحسابية: un=u0+nru_n=u_0+nr و∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. وللمتتالية الهندسية (q≠1)(q\neq 1): un=u0 q nu_n=u_0\,q^{\,n} و∑k=0n−1uk=u01−q n1−q\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^{\,n}}{1-q}.

نهاية متتالية هندسية

إذا كان q>1q>1 فإن q n→+∞q^{\,n}\to+\infty؛ وإذا كان q=1q=1 فإن q n=1q^{\,n}=1؛ وإذا كان −1<q<1-1<q<1 فإن q n→0q^{\,n}\to 0؛ أما إذا كان q≤−1q\le -1 فلا توجد نهاية. نستعمل هذه النتائج بعد التعرف إلى متتالية مساعدة هندسية.

المتتالية الرجعية ومبرهنة التقارب الرتيب

لدراسة un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) نثبت بالتراجع حصراً من الشكل a≤un≤ba\le u_n\le b، ثم ندرس الرتابة بإشارة un+1−unu_{n+1}-u_n. كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى، أو متناقصة ومحدودة من الأسفل، تكون متقاربة. وإذا كانت ff متصلة عند النهاية ℓ\ell، فإن ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

الأخطاء الشائعة

1
نسيان خطوة التحقق الابتدائي في البرهان بالتراجع؛ إذ يجب التحقق من الخاصية عند الرتبة 0 أو 1 حسب تعريف المتتالية.
2
إعلان نهاية متتالية رجعية بمجرد حل المعادلة ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell) من دون إثبات تقاربها أولاً.
3
الخلط بين كون المتتالية محدودة من الأعلى وكونها متقاربة؛ فالمتتالية المحدودة من الأعلى لا يلزم أن تتقارب إلا مع شرط الرتابة المناسب.

مثال محلول

نص السؤال

لتكن (un)(u_n) معرفة بـ u0=0u_0=0 وun+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}. أثبت أن 0≤un≤20\le u_n\le 2 لكل nn، وأن (un)(u_n) متزايدة، ثم حدد نهايتها.

التصحيح

الحصر بالتراجع. لدينا u0=0∈[0,2]u_0=0\in[0,2]. إذا كان 0≤un≤20\le u_n\le 2، فإن 2≤un+2≤42\le u_n+2\le 4، ومنه 2≤un+1≤2\sqrt{2}\le u_{n+1}\le 2، وبالتالي 0≤un+1≤20\le u_{n+1}\le 2. إذن الخاصية انتقالية وصحيحة لكل nn.
الرتابة. لدينا un+12−un2=(un+2)−un2=−(un−2)(un+1)≥0u_{n+1}^2-u_n^2=(u_n+2)-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0 لأن 0≤un≤20\le u_n\le 2. وبما أن الحدود موجبة، فإن un+1≥unu_{n+1}\ge u_n، أي إن (un)(u_n) متزايدة.
التقارب. المتتالية (un)(u_n) متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد 22، ومن ثم فهي متقاربة نحو عدد حقيقي ℓ\ell.
النهاية. الدالة f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} متصلة على [0,2][0,2]، لذلك ℓ=ℓ+2\ell=\sqrt{\ell+2}، أي ℓ2−ℓ−2=0\ell^2-\ell-2=0 ومنه (ℓ−2)(ℓ+1)=0(\ell-2)(\ell+1)=0. وبما أن ℓ∈[0,2]\ell\in[0,2] فإن ℓ=2\ell=2.

افهم الدرس، ثم تدرب.

ينشئ Orka تمارين وامتحانات تجريبية مصححة تغطي برنامج الرياضيات في بكالوريا Éco، مع تتبع تقدمك درساً بعد درس (وفق حدود عرضك).

تابع مجاناً مع Orka

3 تمارين للتدرب

التمرين 1

سهل
(un)(u_n) متتالية هندسية حيث u0=5u_0=5 وأساسها q=12q=\frac{1}{2}. احسب u4u_4 و∑k=04uk\displaystyle\sum_{k=0}^{4}u_k.
عرض التصحيح
u4=5×(12)4=516u_4=5\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\dfrac{5}{16}. مجموع الحدود الخمسة الأولى هو S=u01−q51−q=5×1−13212=5×3116=15516S=u_0\dfrac{1-q^{5}}{1-q}=5\times\dfrac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=5\times\dfrac{31}{16}=\dfrac{155}{16}.

التمرين 2

متوسط
لتكن (un)(u_n) معرفة بـ u0=3u_0=3 وun+1=12un+1u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1. نضع vn=un−2v_n=u_n-2. أثبت أن (vn)(v_n) هندسية، ثم استنتج unu_n وlim⁡un\lim u_n.
عرض التصحيح
vn+1=12un+1−2=12(un−2)=12vnv_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1-2=\frac{1}{2}(u_n-2)=\frac{1}{2}v_n، إذن (vn)(v_n) هندسية أساسها 12\frac{1}{2} وحدها الأول v0=1v_0=1. ومنه vn=(12)nv_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n وun=2+(12)nu_n=2+\left(\frac{1}{2}\right)^n. وبما أن (12)n→0\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0 فإن lim⁡un=2\lim u_n=2.

التمرين 3

صعب
لتكن (un)(u_n) معرفة بـ u0=1u_0=1 وun+1=3un+2un+2u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}. أثبت بالتراجع أن 1≤un≤21\le u_n\le 2، ثم أثبت أن (un)(u_n) متزايدة.
عرض التصحيح
الحصر. لدينا u0=1∈[1,2]u_0=1\in[1,2]. إذا كان 1≤un≤21\le u_n\le 2، فإن un+1−1=2unun+2>0u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n}{u_n+2}>0 وun+1−2=un−2un+2≤0u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\le 0، ومنه 1≤un+1≤21\le u_{n+1}\le 2. الرتابة. لدينا un+1−un=−(un−2)(un+1)un+2≥0u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n-2)(u_n+1)}{u_n+2}\ge 0 عندما 1≤un≤21\le u_n\le 2؛ إذن المتتالية متزايدة.

تعمق أكثر في هذا الدرس

أكثر من 50 تمريناً تفاعلياً في هذا الدرس

تمارين يولدها الذكاء الاصطناعي ويصححها خطوة بخطوة حسب مستواك.

تسجيل الدخول مطلوب

اختبار ذكي متكيف

أسئلة تتكيف تلقائياً مع إجاباتك الصحيحة وأخطائك.

تسجيل الدخول مطلوب

تصحيح امتحانات سابقة مرتبطة بالدرس

مواضيع من الامتحانات الوطنية والجهوية السابقة.

تسجيل الدخول مطلوب

خطة مراجعة شخصية

ترتب أولوية هذا الدرس حسب تقدمك الحقيقي في الشعبة.

Premium

بطاقات مراجعة الدرس

الصيغ والتعريفات الأساسية لمراجعة سريعة.

Premium

مدرس ذكي بالدارجة

اطرح أسئلتك حول الدرس واحصل على شرح فوري.

Premium

الأسئلة الشائعة

كيف أعرف أن المطلوب استعمال متتالية مساعدة هندسية؟

عندما تكون المتتالية من الشكل un+1=aun+bu_{n+1}=a u_n+b حيث a≠1a\neq1، نضع vn=un−ℓv_n=u_n-\ell، وℓ\ell هي النقطة الثابتة التي تحقق ℓ=aℓ+b\ell=a\ell+b. عندئذ تكون (vn)(v_n) هندسية أساسها aa، وهو الأسلوب الأكثر وروداً في امتحان شعبة العلوم الاقتصادية.

هل تعطي مبرهنة تقارب المتتاليات الرتيبة قيمة النهاية؟

لا، فهي تثبت وجود النهاية فقط. لتحديد قيمتها نستعمل اتصال الدالة ff ونحل المعادلة ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell)، ثم نحتفظ بالحل الموافق للحصر الذي سبق إثباته.

هل يجب دائماً إثبات الرتابة بالتراجع؟

ليس دائماً؛ فكثيراً ما تكفي دراسة إشارة un+1−unu_{n+1}-u_n، أو النسبة un+1/unu_{n+1}/u_n للمتتاليات الموجبة، بعد التحليل. ويصبح التراجع مفيداً عندما تعتمد إشارة الفرق على حصر unu_n.

اقرأ أيضاً

الدوال الأسية — بكالوريا العلوم الاقتصاديةبرنامج الرياضيات لبكالوريا العلوم الاقتصاديةأفضل طريقة للمراجعة من أجل البكالوريا