Maîtrise statistique des procédés (SPC) — Cours SI Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 8 en Bac STM, la matière la plus lourde de la filière, devant les Mathématiques (7) et la Physique-Chimie (5). Le cadre de référence 2025 de SI STM consacre une unité entière à la production (concevoir, réaliser, gérer et valider) : ces compétences reviennent dans la partie « production » de chaque sujet national.

À l'épreuve

Calculer les limites d'une carte de contrôle moyenne-étendue à partir de prélèvements, interpréter une carte (point hors limites, tendance), calculer les indices de capabilité Cp et Cpk et conclure sur l'aptitude et le réglage du procédé.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer causes communes (dispersion naturelle) et causes assignables (dérives)
Utiliser la loi normale : moyenne, écart-type, intervalle ±3σ
Calculer les limites d'une carte de contrôle moyenne (X̄) et étendue (R)
Interpréter une carte de contrôle et décider d'une action de réglage
Calculer et interpréter les indices de capabilité Cp et Cpk

Notions clés

Dispersion et causes de variation

La dimension réalisée varie autour d'une moyenne. Les causes communes (vibrations, petites variations de matière) produisent une dispersion aléatoire, stable, souvent distribuée selon une loi normale : environ 99,7 % des pièces se trouvent dans l'intervalle

[\mu - 3\sigma\ ;\ \mu + 3\sigma]

. Les causes assignables (usure d'outil, déréglage, changement de lot) provoquent une dérive qu'il faut détecter et corriger.

Cartes de contrôle moyenne-étendue

On prélève régulièrement des échantillons de

n

pièces (souvent

n = 5

) et on reporte la moyenne

\bar{x}

et l'étendue

R

de chaque échantillon. Limites de la carte des moyennes :

LSC = \bar{\bar{x}} + A_2\bar{R}

LIC = \bar{\bar{x}} - A_2\bar{R}

; carte des étendues :

LSC_R = D_4\bar{R}

LIC_R = D_3\bar{R}

. Pour

n = 5

A_2 = 0{,}577

D_4 = 2{,}114

D_3 = 0

Piloter le procédé

Un point hors des limites signale une cause assignable : on arrête et on règle. Une série de points du même côté de la moyenne ou une tendance croissante ou décroissante (souvent l'usure de l'outil) annonce une dérive : on intervient avant de produire des pièces non conformes. Tant que les points restent dans les limites sans motif particulier, on ne touche pas au réglage : le procédé est sous contrôle.

Capabilité : Cp et Cpk

La capabilité compare l'intervalle de tolérance

IT = T_s - T_i

à la dispersion du procédé

6\sigma

C_p = \dfrac{IT}{6\sigma}

. Elle ne dépend pas du centrage. Le

C_{pk} = \dfrac{\min(T_s - \mu\ ;\ \mu - T_i)}{3\sigma}

tient compte du décentrage. On considère généralement un procédé capable si

C_p \geq 1{,}33

; si

C_{pk}

est nettement inférieur à

C_p

, le procédé est précis mais mal centré : il suffit de le recentrer.

Erreurs fréquentes

Confondre limites de contrôle (calculées à partir du procédé) et limites de tolérance (imposées par le dessin).

Régler la machine à chaque petite variation : on ajoute de la dispersion au lieu d'en enlever.

Calculer Cpk avec la tolérance entière au lieu de la plus petite distance entre la moyenne et une limite.

Conclure qu'un procédé est mauvais quand seul Cpk est faible : s'il a un bon Cp, il suffit de le recentrer.

Exemple corrigé

Énoncé

Un diamètre est coté

\varnothing 20 \pm 0{,}05\ \text{mm}

. Le procédé a une moyenne

\mu = 20{,}01\ \text{mm}

et un écart-type

\sigma = 0{,}012\ \text{mm}

. Calculer Cp et Cpk et conclure.

Correction

Tolérance.

T_s = 20{,}05

T_i = 19{,}95

, donc

IT = 0{,}10\ \text{mm}

Cp.

C_p = \dfrac{0{,}10}{6 \times 0{,}012} = \dfrac{0{,}10}{0{,}072} \approx 1{,}39

: la dispersion est suffisamment faible.

Cpk.

T_s - \mu = 0{,}04

\mu - T_i = 0{,}06

C_{pk} = \dfrac{0{,}04}{3 \times 0{,}012} = \dfrac{0{,}04}{0{,}036} \approx 1{,}11

Conclusion. Le procédé est capable en dispersion (

C_p > 1{,}33

) mais décentré vers la limite supérieure (

C_{pk} < 1{,}33

) : il faut le recentrer sur 20,00 mm.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Citer deux causes assignables de variation dans un procédé d'usinage.

Voir la correction

L'usure de l'outil de coupe (dérive progressive de la cote), un déréglage de la machine, un changement de lot de matière plus dure, un mauvais serrage de la pièce.

Exercice 2

Moyen

Échantillons de 5 pièces :

\bar{\bar{x}} = 12{,}00\ \text{mm}

\bar{R} = 0{,}05\ \text{mm}

. Calculer les limites des cartes de contrôle (

A_2 = 0{,}577

D_4 = 2{,}114

D_3 = 0

Voir la correction

Carte des moyennes :

LSC = 12{,}00 + 0{,}577 \times 0{,}05 \approx 12{,}029\ \text{mm}

LIC \approx 11{,}971\ \text{mm}

. Carte des étendues :

LSC_R = 2{,}114 \times 0{,}05 \approx 0{,}106\ \text{mm}

LIC_R = 0

Exercice 3

Difficile

Sur une carte des moyennes, les sept derniers points augmentent régulièrement tout en restant sous la limite supérieure. Faut-il intervenir ? Quelle cause est probable ?

Voir la correction

Oui : sept points consécutifs en tendance croissante signalent une dérive même sans point hors limites. Une cause probable est l'usure de l'outil (ou une dilatation thermique). On intervient (changement ou correction d'outil) avant de produire des pièces hors tolérance.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre Cp et Cpk ?

Cp compare la tolérance à la dispersion sans tenir compte du centrage : c'est la précision potentielle de la machine. Cpk tient compte de la position de la moyenne : c'est la capabilité réelle. Si Cpk = Cp, le procédé est parfaitement centré.

Pourquoi utiliser des échantillons plutôt que des pièces isolées ?

La moyenne d'un échantillon est moins dispersée qu'une mesure isolée : la carte détecte plus vite une dérive de la moyenne, et l'étendue renseigne sur la dispersion à court terme.

Que faire si Cp est inférieur à 1 ?

La machine est trop dispersée pour la tolérance : même centrée, elle produira des rebuts. Il faut améliorer le procédé (machine plus précise, outillage, conditions de coupe) ou renégocier la tolérance.