OrkaOrka/Bac/Sciences et Technologies Mécaniques (STM)
Commencer
Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Nombres complexes — Cours Maths Bac STM

Les trois formes d'un complexe, module et argument, la formule de Moivre, les racines n-ièmes, et l'usage géométrique : rotations, natures de triangles, lieux.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Chapitre transversal mêlant calcul algébrique, trigonométrie et géométrie du plan : presque toujours l'objet d'un exercice complet.

À l'épreuve

Un exercice en deux temps : calcul (forme exponentielle, résolution d'une équation, racines n-ièmes, Moivre), puis géométrie (nature d'un triangle, écriture complexe d'une rotation, lieu de points).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
  • Calculer module et argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Appliquer la formule de Moivre
  • Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe
  • Interpréter |z − a|, arg((z − b)/(z − a)) et l'écriture d'une rotation

Notions clés

Formes et module-argument

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, r=∣z∣=x2+y2r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}. ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2.

Moivre et racines n-ièmes

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}. Les racines nn-ièmes de a=ρeiφa=\rho e^{i\varphi} sont zk=ρ1/nei(φn+2kπn)z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1.

Interprétation géométrique

∣z−a∣|z-a| = distance AMAM. arg⁡z−bz−a=(AM→,BM→)\arg\dfrac{z-b}{z-a}=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}). Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).

Équation du second degré dans C\mathbb{C}

Pour az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 à coefficients réels (a≠0a \ne 0), on calcule le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Si Δ>0\Delta > 0, deux solutions réelles −b±Δ2a\dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a} ; si Δ=0\Delta = 0, une solution réelle double −b2a-\dfrac{b}{2a} ; si Δ<0\Delta < 0, deux solutions complexes conjuguées z=−b±i−Δ2az = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}. Exemple : z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 a pour discriminant Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16, donc z=1+2iz = 1 + 2i ou z=1−2iz = 1 - 2i.

Erreurs fréquentes

1
Donner un argument sans préciser modulo 2π.
2
Oublier une racine n-ième : il y en a exactement n.
3
Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂|.
4
Écrire la rotation z′ = e^(iθ) z quand le centre n'est pas l'origine.

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=−1+iz=-1+i sous forme exponentielle, puis calculer z4z^{4}.

Correction

∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2.
cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, donc θ=3π4\theta=\dfrac{3\pi}{4} : z=2 ei 3π/4z=\sqrt2\,e^{i\,3\pi/4}.
z4=(2)4 ei⋅3π=4 ei 3πz^{4}=(\sqrt2)^{4}\,e^{i\cdot 3\pi}=4\,e^{i\,3\pi}.
ei 3π=eiπ=−1e^{i\,3\pi}=e^{i\pi}=-1, donc z4=−4z^{4}=-4.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Mathématiques du Bac STM, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire z=3+iz=\sqrt{3}+i sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2. cos⁡θ=32\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{2}, donc θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6}. z=2(cos⁡π6+isin⁡π6)=2eiπ/6z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=2e^{i\pi/6}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z3=27z^{3}=27.
Voir la correction
27=27ei⋅027=27e^{i\cdot 0}, donc zk=3ei 2kπ/3z_k=3e^{i\,2k\pi/3}, k=0,1,2k=0,1,2 : z0=3z_0=3, z1=3ei 2π/3=−32+332iz_1=3e^{i\,2\pi/3}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt3}{2}i, z2=3e−i 2π/3=−32−332iz_2=3e^{-i\,2\pi/3}=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt3}{2}i.

Exercice 3

Difficile
Soient A(2)A(2), B(2i)B(2i), C(−2)C(-2), D(−2i)D(-2i). Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?
Voir la correction
Les quatre affixes ont pour module 22 et pour arguments 00, π2\dfrac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\dfrac{3\pi}{2} : les points sont régulièrement répartis sur le cercle de centre OO et de rayon 22. Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont même longueur 44, se coupent en leur milieu OO et sont perpendiculaires : ABCDABCD est un carré.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment mettre un complexe sous forme exponentielle ?

On calcule r = √(x² + y²), puis θ tel que cos θ = x/r et sin θ = y/r. Alors z = r e^(iθ).

Combien de racines n-ièmes ?

Exactement n, réparties régulièrement sur un cercle centré à l'origine, de rayon la racine n-ième du module.

Comment reconnaître une figure avec des affixes ?

On calcule (c − a)/(b − a) : son module compare AC et AB, son argument donne l'angle en A. Module 1 et argument π/2 : rectangle isocèle en A ; argument π/3 : équilatéral.

À lire aussi

Géométrie dans l'espace — Bac STMProgramme de Mathématiques Bac STMFormules de maths et physique du Bac Maroc