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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Limites et continuité — Cours Maths Bac STM

Calculer une limite, lever une forme indéterminée, décrire les branches infinies d'une courbe et exploiter la continuité (TVI et théorème de la bijection).

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les limites ouvrent le bloc d'analyse, réinvesti dans l'étude des fonctions, le logarithme, l'exponentielle et le calcul intégral.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction (branches infinies, asymptotes). La continuité sert à justifier, via le TVI puis la stricte monotonie, l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = 0.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ par factorisation ou quantité conjuguée
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique
  • Étudier la continuité en un point et sur un intervalle
  • Appliquer le TVI pour l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0. Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞\pm\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty : factorisation par le terme dominant, quantité conjuguée, ou taux d'accroissement.

Asymptotes

Verticale x=ax=a si lim⁡af=±∞\lim_{a}f=\pm\infty ; horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡±∞f=ℓ\lim_{\pm\infty}f=\ell ; oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡±∞(f(x)−ax−b)=0\lim_{\pm\infty}(f(x)-ax-b)=0.

TVI et bijection

ff continue sur [a,b][a,b] et kk entre f(a)f(a) et f(b)f(b) ⇒\Rightarrow f(x)=kf(x)=k a une solution ; si ff est strictement monotone, elle est unique.

Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si ff est continue et strictement croissante sur [a;b][a ; b], alors f([a;b])=[f(a);f(b)]f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)] ; si elle est strictement décroissante, f([a;b])=[f(b);f(a)]f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]. Sur un intervalle ouvert ou non borné, on remplace les valeurs aux bornes par les limites : pour ff croissante sur ]a;b[]a ; b[, f(]a;b[)= ]lim⁡af;lim⁡bf[f(]a ; b[) = \,]\lim_a f ; \lim_b f[. Exemple : f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x est continue et croissante sur [1;3][1 ; 3] (car f′(x)=2x−2≥0f'(x) = 2x - 2 \ge 0), donc f([1;3])=[−1;3]f([1 ; 3]) = [-1 ; 3].

Erreurs fréquentes

1
Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : forme indéterminée.
2
Appliquer le TVI sans vérifier la continuité.
3
Conclure à l'unicité sans la stricte monotonie.
4
Confondre asymptote oblique et branche parabolique.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞3x2−2x+12x2−5\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{2x^2-5} puis lim⁡x→2x2−4x2−x−2\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}.

Correction

Première limite. Quotient des termes dominants : 3x22x2=32\dfrac{3x^2}{2x^2}=\dfrac{3}{2}.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2) et x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2=(x-2)(x+1).
Pour x≠2x\neq 2 : x2−4x2−x−2=x+2x+1\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}.
Donc lim⁡x→2x2−4x2−x−2=43\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{4}{3}.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞2x3−xx3+3\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^3+3} et lim⁡x→+∞5x−2x2+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x-2}{x^2+1}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 2x3x3→2\dfrac{2x^3}{x^3}\to 2 ; 5xx2=5x→0\dfrac{5x}{x^2}=\dfrac{5}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'asymptote oblique de g(x)=3x2−x+2x−1g(x)=\dfrac{3x^2-x+2}{x-1}.
Voir la correction
Division : 3x2−x+2=(x−1)(3x+2)+43x^2-x+2=(x-1)(3x+2)+4, donc g(x)=3x+2+4x−1g(x)=3x+2+\dfrac{4}{x-1}. La droite y=3x+2y=3x+2 est asymptote oblique en ±∞\pm\infty.

Exercice 3

Difficile
Montrer que x3+3x−6=0x^3+3x-6=0 admet une unique solution réelle α\alpha, avec 1<α<21<\alpha<2.
Voir la correction
h(x)=x3+3x−6h(x)=x^3+3x-6, h′(x)=3x2+3>0h'(x)=3x^2+3>0 : hh strictement croissante, bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}, donc h(x)=0h(x)=0 a une unique solution α\alpha. h(1)=−2<0h(1)=-2<0, h(2)=8>0h(2)=8>0, donc 1<α<21<\alpha<2.

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en l'infini ?

Quotient des termes de plus haut degré : degrés égaux → quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand → ±∞ ; plus petit → 0.

À quoi sert le TVI en Bac STM ?

À prouver qu'une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle, avant d'en donner un encadrement.

Continue et dérivable, quelle différence ?

Dérivable en un point implique continue en ce point ; la réciproque est fausse. On justifie la continuité avant un TVI.

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