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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac STM

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et étude de fonctions faisant intervenir ln.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le logarithme et l'exponentielle forment le cœur analytique de l'épreuve : au moins un des deux problèmes porte sur une fonction les combinant.

À l'épreuve

Étude complète d'une fonction du type x ↦ x² − 2 ln x : domaine, limites (croissances comparées), dérivée, tableau, extremum ; parfois une équation avec ln.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0, x ln x → 0⁺
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u
  • Mener l'étude complète d'une fonction contenant ln

Notions clés

Propriétés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Limites

lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est ln⁡∣u∣\ln|u|.

Erreurs fréquentes

1

Résoudre une équation avec ln sans fixer le domaine.

2

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.

3

Négliger les croissances comparées et déclarer « +∞ − ∞ » sans lever la forme.

4

Dériver ln(u) en 1/u en oubliant le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡x+ln⁡(x+2)=ln⁡8\ln x+\ln(x+2)=\ln 8.

Correction

Domaine. x>0x>0 et x+2>0x+2>0, donc x>0x>0.
Regroupement. ln⁡(x(x+2))=ln⁡8\ln\big(x(x+2)\big)=\ln 8, donc x(x+2)=8x(x+2)=8.
Résolution. x2+2x−8=0  ⟺  (x−2)(x+4)=0  ⟺  x=2x^2+2x-8=0 \iff (x-2)(x+4)=0 \iff x=2 ou x=−4x=-4.
Domaine. x=2>0x=2>0 (retenue) ; x=−4x=-4 (rejetée). S={2}S=\{2\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(3x−2)=ln⁡(x+4)\ln(3x-2)=\ln(x+4).
Voir la correction
Domaine : x>23x>\tfrac23. L'équation équivaut à 3x−2=x+43x-2=x+4, soit x=3x=3. Comme 3>233>\tfrac23, S={3}S=\{3\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que (1,2)n≥10(1{,}2)^{n}\ge 10.
Voir la correction
(1,2)n≥10  ⟺  n≥ln⁡10ln⁡1,2≈2,30260,18232≈12,63(1{,}2)^{n}\ge 10 \iff n\ge\dfrac{\ln 10}{\ln 1{,}2}\approx\dfrac{2{,}3026}{0{,}18232}\approx 12{,}63. Le plus petit entier est n=13n=13.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et en déduire que x2>2ln⁡xx^2>2\ln x pour tout x>0x>0.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty (car −2ln⁡x→+∞-2\ln x\to+\infty) et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. f′(x)=2x−2x=2(x2−1)xf'(x)=2x-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x^2-1)}{x} : f′<0f'<0 sur ]0,1[]0,1[, f′>0f'>0 sur ]1,+∞[]1,+\infty[. ff a un minimum f(1)=1−0=1>0f(1)=1-0=1>0. Donc f(x)>0f(x)>0 pour tout x>0x>0, c'est-à-dire x2>2ln⁡xx^2>2\ln x.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

On fixe le domaine (chaque argument > 0), on regroupe les ln, on identifie les arguments, on résout, puis on garde les solutions du domaine.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

Quelle est la dérivée de ln(u) ?

u′/u, définie là où u > 0. C'est aussi pourquoi une primitive de u′/u est ln|u|.

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