Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, fréquemment posé dans un cadre de contrôle dimensionnel (pièces dans / hors tolérance).

À l'épreuve

Un exercice type tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales (deux machines), définir une variable aléatoire X (nombre de pièces hors tolérance), donner sa loi et son espérance ; parfois une loi binomiale.

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}

. Permutations :

n!

Conditionnement et probabilités totales

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Loi binomiale

Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

; lorsque

P(B) \ne 0

, cela revient à

P_B(A) = P(A)

: savoir que

B

est réalisé ne change pas la probabilité de

A

. Ne pas confondre avec des événements incompatibles (

A \cap B = \emptyset

). Si

A

B

sont deux événements indépendants,

A

\bar B

le sont aussi. Lors d'épreuves successives indépendantes, les probabilités se multiplient. Exemple : on lance un dé ;

A

= « nombre pair » (

P = \dfrac{1}{2}

) et

B

= « nombre inférieur ou égal à 2 » (

P = \dfrac{1}{3}

) ;

A \cap B = \{2\}

a pour probabilité

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}

: ces deux événements sont indépendants.

Probabilité conditionnelle et probabilités totales

P(B) \ne 0

, la probabilité de

A

sachant

B

est

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

; d'où

P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)

. Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. Formule des probabilités totales :

P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar B)\,P_{\bar B}(A)

. Exemple : 60 % des pièces viennent de la machine

M_1

, dont 2 % sont défectueuses, et 40 % de

M_2

, dont 5 % sont défectueuses ;

P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032

, et la probabilité conditionnelle qu'une pièce défectueuse vienne de

M_1

vaut

\dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Appliquer la loi binomiale sans indépendance ou avec p non constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de

15

pièces contient

5

pièces hors tolérance. On en prélève

4

au hasard, simultanément. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

2

pièces hors tolérance.

Correction

Nombre total de prélèvements :

\dbinom{15}{4}=1365

Cas favorables :

2

hors tolérance parmi

5

2

conformes parmi

10

\dbinom{5}{2}\times\dbinom{10}{2}=10\times 45=450

P(\text{exactement 2 hors tolérance})=\dfrac{450}{1365}

En simplifiant par

15

P=\dfrac{30}{91}\approx 0{,}330

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

De combien de façons peut-on ranger

5

pièces distinctes sur un présentoir aligné ?

Voir la correction

C'est une permutation de

5

éléments :

5!=120

Exercice 2

Moyen

55\%

des pièces viennent de la machine A,

45\%

de la machine B.

2\%

des pièces de A et

6\%

de celles de B sont hors tolérance. Une pièce hors tolérance : quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?

Voir la correction

P(A)=0{,}55

P(H\mid A)=0{,}02

P(H\mid B)=0{,}06

P(H)=0{,}55\times 0{,}02+0{,}45\times 0{,}06=0{,}011+0{,}027=0{,}038

. Bayes :

P(B\mid H)=\dfrac{0{,}027}{0{,}038}\approx 0{,}711

Exercice 3

Difficile

Un contrôle porte sur

5

pièces indépendantes, chacune hors tolérance avec probabilité

0{,}2

. Soit

X

le nombre de pièces hors tolérance. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 2)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}(5,\ 0{,}2)

P(X=k)=\dbinom{5}{k}(0{,}2)^{k}(0{,}8)^{5-k}

E(X)=np=1

P(X=0)=(0{,}8)^5=0{,}32768

P(X=1)=5\times 0{,}2\times(0{,}8)^4=0{,}4096

, donc

P(X\ge 2)=1-0{,}32768-0{,}4096\approx 0{,}263

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (rangement aligné, code) → arrangement Aₙᵖ ou permutation n!. Ordre indifférent (prélèvement simultané) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (machines, lots) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (dans / hors tolérance) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de défauts suit B(n, p), d'espérance np.