Biométrie : étude quantitative de la variation — Cours SVT Bac SMA

Dans le programme du Bac SMA

Coefficient 3 en Bac SMA. Le chapitre fait le lien entre l'hérédité et la génétique des populations ; ses calculs (moyenne, variance, écart-type) sont rapides pour un élève de Sciences Mathématiques, et l'épreuve les combine presque toujours à une interprétation biologique.

À l'épreuve

À partir d'un tableau de mesures (tailles, masses, nombres de grains), construire l'histogramme ou le polygone de fréquences, calculer la moyenne et l'écart-type, comparer deux populations ou deux générations, et interpréter : courbe unimodale ou bimodale, effet d'une sélection, fluctuation ou variation héréditaire.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer variation discontinue (qualitative) et variation continue (quantitative)
Construire un histogramme et un polygone de fréquences à partir d'une série de mesures
Calculer la moyenne arithmétique, la variance et l'écart-type d'une distribution
Interpréter la courbe de Gauss et les intervalles x̄ ± σ et x̄ ± 2σ
Interpréter un polygone bimodal comme le mélange de deux populations
Distinguer fluctuation (non héréditaire) et mutation, à l'aide des expériences de sélection en lignée pure

Notions clés

Variation discontinue et variation continue

Un caractère à variation discontinue se répartit en quelques classes nettes (couleur des fleurs, groupe sanguin) : il dépend en général d'un petit nombre de gènes. Un caractère à variation continue (taille, masse, rendement) prend toutes les valeurs d'un intervalle : il dépend de nombreux gènes et du milieu. On l'étudie par la biométrie : mesure d'un grand nombre d'individus, répartition en classes, calcul de paramètres statistiques.

Représenter une distribution

On regroupe les mesures en classes de même amplitude et on compte l'effectif

n_i

de chacune. L'histogramme représente les effectifs par des rectangles ; le polygone de fréquences relie les points placés au centre de chaque classe. Pour une population homogène, il est en cloche et unimodal (un seul mode) ; un polygone bimodal révèle le mélange de deux populations différentes.

Moyenne, variance, écart-type

Avec

x_i

le centre de la classe

i

n_i

son effectif et

N

l'effectif total : moyenne

\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}

; variance

V = \dfrac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}

; écart-type

\sigma = \sqrt{V}

. La moyenne situe la population, l'écart-type mesure sa dispersion autour de la moyenne. Pour une distribution normale (courbe de Gauss), environ 68 % des individus sont dans

[\bar{x} - \sigma\ ;\ \bar{x} + \sigma]

et 95 % dans

[\bar{x} - 2\sigma\ ;\ \bar{x} + 2\sigma]

Fluctuation et variation héréditaire

Les expériences de Johannsen sur le haricot montrent que, dans une population mélangée, sélectionner les plus grosses graines déplace la moyenne de la descendance : une partie de la variation est héréditaire. Mais dans une lignée pure (individus de même génotype, issus d'autofécondations successives), la sélection n'a aucun effet : les différences entre graines sont des fluctuations dues au milieu, non transmises. Seules les mutations créent une variation héréditaire nouvelle.

La sélection artificielle

La sélection artificielle consiste à choisir comme reproducteurs, à chaque génération, les individus qui présentent au mieux le caractère recherché (taille des graines, production laitière). Si ce caractère quantitatif est en partie héréditaire, la moyenne de la descendance se déplace génération après génération dans le sens de la sélection, ce que montre le déplacement de la courbe de fréquences et l'évolution de la moyenne

\bar x

. La sélection devient inefficace quand on atteint une lignée pure : les différences restantes sont alors dues au milieu et ne se transmettent pas. Les études biométriques (moyenne, écart-type, polygone de fréquences) permettent de mesurer cet effet.

Erreurs fréquentes

Oublier de pondérer par les effectifs : la moyenne n'est pas la moyenne des centres de classes.

Diviser la somme des écarts au carré par le nombre de classes au lieu de l'effectif total N.

Interpréter un polygone bimodal comme une seule population très dispersée : deux modes signalent deux populations mélangées.

Croire qu'une sélection est toujours efficace : dans une lignée pure, les variations sont des fluctuations non héréditaires.

Exemple corrigé

Énoncé

On mesure la longueur de 100 graines d'une variété de haricot. Centres des classes (mm) : 10, 11, 12, 13, 14 ; effectifs : 5, 20, 50, 20, 5. Calculer la moyenne et l'écart-type, puis interpréter.

Correction

Moyenne.

\bar{x} = \dfrac{5\times10 + 20\times11 + 50\times12 + 20\times13 + 5\times14}{100} = \dfrac{1200}{100} = 12{,}0\ \text{mm}

Variance.

V = \dfrac{5\times(-2)^2 + 20\times(-1)^2 + 50\times0^2 + 20\times1^2 + 5\times2^2}{100} = \dfrac{80}{100} = 0{,}80\ \text{mm}^2

Écart-type.

\sigma = \sqrt{0{,}80} \approx 0{,}89\ \text{mm}

Interprétation. La distribution est symétrique et unimodale autour de 12 mm : la population est homogène. 90 % des graines sont dans

[11\ ;\ 13]

, un intervalle proche de

[\bar{x} - \sigma\ ;\ \bar{x} + \sigma]

: la dispersion est faible.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Classer les caractères suivants selon leur type de variation : taille d'un épi de blé, groupe sanguin ABO, masse d'un œuf, couleur d'un pelage noir ou blanc.

Voir la correction

Variation continue : taille d'un épi, masse d'un œuf (toutes les valeurs d'un intervalle). Variation discontinue : groupe sanguin, couleur noire ou blanche du pelage (quelques classes nettes).

Exercice 2

Moyen

Deux populations de maïs ont la même moyenne de hauteur (1,80 m), mais des écarts-types de 0,05 m et 0,20 m. Laquelle est la plus homogène ? Laquelle offre le plus de possibilités à la sélection ?

Voir la correction

La population d'écart-type 0,05 m est la plus homogène : ses individus sont concentrés autour de la moyenne. Celle d'écart-type 0,20 m est plus variable ; si cette variation est en partie héréditaire, elle offre davantage de possibilités à la sélection, car elle contient des individus nettement plus grands ou plus petits.

Exercice 3

Difficile

Dans une lignée pure de haricot, on sème séparément les 10 % de graines les plus grosses et les 10 % les plus petites. Les descendances ont la même longueur moyenne, égale à celle de la lignée. Interpréter ce résultat.

Voir la correction

Dans une lignée pure, tous les individus ont le même génotype. Les différences de longueur entre graines ne sont donc pas génétiques : ce sont des fluctuations dues aux conditions du milieu (position sur la plante, nutrition, ensoleillement). Elles ne se transmettent pas : les deux descendances retrouvent la moyenne de la lignée. La sélection est inefficace sans variation héréditaire.

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Questions fréquentes

Pourquoi diviser par N et non par le nombre de classes ?

Parce que chaque individu compte : la moyenne et la variance sont des moyennes sur tous les individus mesurés. Les effectifs servent de coefficients, et leur somme vaut N.

Que signifie un polygone de fréquences à deux sommets ?

Qu'on a mélangé deux populations différentes, chacune répartie autour de sa propre moyenne : par exemple deux variétés, ou les mâles et les femelles d'une espèce où ils diffèrent nettement. Il faut alors étudier les deux groupes séparément.

Une fluctuation peut-elle devenir héréditaire ?

Non. Une fluctuation est une variation du phénotype causée par le milieu ; elle ne modifie pas l'ADN des cellules reproductrices. Seule une mutation, qui modifie un gène, peut faire apparaître un caractère nouveau transmissible.