Mouvements Plans — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile soumis uniquement à son poids, dans un champ de pesanteur uniforme
Décomposer le vecteur vitesse initiale en une composante horizontale et une composante verticale
Établir les équations horaires x(t) et z(t) du mouvement du centre d'inertie
Établir l'équation de la trajectoire en éliminant le temps entre x(t) et z(t)
Reconnaître que la trajectoire d'un tel mouvement est une parabole
Déterminer la portée et la flèche d'un tir à partir des équations du mouvement
Distinguer ce mouvement plan du mouvement circulaire uniforme, où l'accélération est centripète
Étudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme (condensateur plan) et établir sa trajectoire

Formules et résultats clés

Mise en équation

Un projectile lancé avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale n'est soumis qu'à son poids (frottements négligés). D'après la 2e loi de Newton, $\vec{a} = \vec{g}$ . Avec Ox horizontal et Oz vertical ascendant, origine au point de lancement : $a_x = 0$ et $a_z = -g$ .

$x(t) = v_0\cos\alpha\,\,t$

$z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^2 + v_0\sin\alpha\,\,t + z_0$

Équation de la trajectoire

$z(x) = -\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + x\tan\alpha + z_0$

Obtenue en éliminant t entre x(t) et z(t) : c'est une équation du second degré en x, donc une parabole tournée vers le bas.

Portée et flèche (départ et arrivée à la même altitude)

Portée : $D = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$

Flèche : $h_{max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

La flèche est atteinte quand $v_z = 0$ . La formule de portée ci-dessus n'est valable que si le point de chute est à la même altitude que le point de lancement ; sinon, il faut résoudre $z(t) = 0$ directement.

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre les plaques d'un condensateur plan (tension U, distance d), le champ est uniforme, $E = \dfrac{U}{d}$ , dirigé de la plaque positive vers la plaque négative. Une particule de charge q et de masse m y subit $\vec{F} = q\vec{E}$ ; son poids est négligeable devant cette force. La 2e loi de Newton donne une accélération constante :

$\vec{a} = \dfrac{q}{m}\vec{E}$

$y(x) = \dfrac{|q|E}{2mv_0^2}\,x^2$ (vitesse initiale perpendiculaire au champ)

Si $\vec{v_0}$ est parallèle au champ, le mouvement est rectiligne uniformément varié. S'il lui est perpendiculaire, la trajectoire est une parabole : c'est le mouvement du projectile, la force électrique remplaçant le poids. À la sortie des plaques, plus aucune force n'agit et le mouvement redevient rectiligne uniforme. C'est le principe de la déviation électronique du tube cathodique.

Complément — mouvement circulaire uniforme

Autre exemple de mouvement plan : dans un mouvement circulaire uniforme de rayon r, la vitesse garde une intensité constante mais change de direction ; l'accélération est alors purement centripète, dirigée vers le centre, d'intensité $a = v^2/r$ .

Compléments du programme

Mouvement d'un solide sur un plan horizontal ou incliné

Un solide de masse

m

glisse sur un plan incliné d'un angle

\alpha

sur l'horizontale. Il subit son poids

\vec P

et la réaction

\vec R

du plan. Sans frottement, la deuxième loi de Newton projetée sur un axe parallèle à la pente (orienté vers le bas) donne

a = g\sin\alpha

: le mouvement est rectiligne uniformément varié ; sur l'axe normal,

R = mg\cos\alpha

. Avec une force de frottement constante

f

opposée au mouvement :

a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}

. Sur un plan horizontal, un solide lancé qui glisse avec frottement décélère (

a = -\dfrac{f}{m}

) ; tiré par une force

\vec F

faisant un angle

\beta

avec l'horizontale, il vérifie

ma = F\cos\beta - f

. Exemple :

\alpha = 30°

sans frottement donne

a = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9\ m\cdot s^{-2}

Particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Une particule de charge

q

et de vitesse

\vec v

dans un champ magnétique uniforme

\vec B

subit la force de Lorentz

\vec F = q\,\vec v \wedge \vec B

. Cette force est perpendiculaire à

\vec v

: elle ne travaille pas, donc la norme de la vitesse reste constante (mouvement uniforme). Si

\vec v_0 \perp \vec B

, la trajectoire est un cercle dans le plan perpendiculaire à

\vec B

, de rayon

R = \dfrac{m\,v_0}{|q|\,B}

, parcouru avec la période

T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}

, indépendante de la vitesse. Comme

R

dépend de la masse, le spectrographe de masse utilise ce mouvement pour séparer des isotopes.

Erreurs fréquentes

Oublier que la composante horizontale de la vitesse est constante tout au long du mouvement, faute de force horizontale.

Se tromper de signe pour g selon l'orientation de l'axe : avec un axe vertical ascendant, l'accélération verticale vaut −g, pas +g.

Utiliser la formule de la portée en supposant un point de chute à la même altitude que le point de lancement, alors que l'énoncé place le lancement en hauteur.

Confondre la flèche, hauteur maximale atteinte quand la vitesse verticale s'annule, avec la portée, distance horizontale au retour à l'altitude de départ.

Oublier de décomposer la vitesse initiale en ses deux composantes avant d'intégrer les équations du mouvement séparément selon chaque axe.

Pour une particule chargée, oublier que la force électrique sur une charge négative (électron) est de sens opposé au champ, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative.

Exemple corrigé — Tir oblique depuis le sol

Énoncé

Un ballon est lancé depuis le sol ( $z_0 = 0$ ) avec une vitesse $v_0 = 20\ \text{m/s}$ , formant un angle $\alpha = 30°$ avec l'horizontale. On néglige les frottements ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). 1) Calculer la durée mise pour atteindre la hauteur maximale. 2) Calculer la flèche du tir. 3) Calculer la portée du tir.

Correction

1) $v_{z0} = v_0\sin\alpha = 20\times 0{,}50 = 10\ \text{m/s}$ . La flèche est atteinte quand $v_z(t) = -g\,t + v_{z0} = 0$ : $t_{sommet} = \dfrac{v_{z0}}{g} = \dfrac{10}{9{,}8} \approx 1{,}0\ \text{s}$ .

2) $h_{max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} = \dfrac{400\times (0{,}50)^2}{19{,}6} = \dfrac{100}{19{,}6} \approx 5{,}1\ \text{m}$ .

3) $D = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} = \dfrac{400\times \sin(60°)}{9{,}8} = \dfrac{400\times 0{,}866}{9{,}8} = \dfrac{346{,}4}{9{,}8} \approx 35{,}4\ \text{m}$ .

4 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bille est lancée horizontalement, avec une vitesse $v_0 = 15\ \text{m/s}$ , du sommet d'une falaise de hauteur $h = 20\ \text{m}$ . On néglige les frottements ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). Calculer la durée de la chute, puis la distance horizontale parcourue avant d'atteindre le sol.

Voir la correction

Verticalement, le lancer est horizontal donc $v_{z0} = 0$ : $z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^2 + h$ . Le sol est atteint pour $z=0$ : $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\times 20}{9{,}8}} \approx 2{,}0\ \text{s}$ . Horizontalement, $x(t) = v_0\,t$ , donc $x = 15\times 2{,}0 = 30\ \text{m}$ .

Exercice 2

Moyen

Un ballon est frappé avec une vitesse initiale $v_0 = 25\ \text{m/s}$ , formant un angle $\alpha = 40°$ avec l'horizontale, depuis le niveau du sol. On néglige les frottements ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). Calculer la portée du tir. On donne $\sin(80°) \approx 0{,}985$ .

Voir la correction

Le départ et l'arrivée étant à la même altitude, $D = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} = \dfrac{625\times \sin(80°)}{9{,}8} = \dfrac{625\times 0{,}985}{9{,}8} = \dfrac{615{,}6}{9{,}8} \approx 62{,}8\ \text{m}$ .

Exercice 3

Difficile

Un javelot est lancé avec une vitesse $v_0 = 22\ \text{m/s}$ , formant un angle $\alpha = 35°$ avec l'horizontale, depuis une hauteur $z_0 = 1{,}8\ \text{m}$ au-dessus du sol. On néglige les frottements ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ; $\cos 35° \approx 0{,}819$ , $\sin 35° \approx 0{,}574$ ). 1) Calculer les composantes de la vitesse initiale. 2) Calculer la hauteur maximale atteinte au-dessus du sol (la flèche). 3) Calculer la portée du tir, c'est-à-dire la distance horizontale à laquelle le javelot touche le sol.

Voir la correction

1) $v_{x0} = v_0\cos\alpha = 22\times 0{,}819 \approx 18{,}0\ \text{m/s}$ ; $v_{z0} = v_0\sin\alpha = 22\times 0{,}574 \approx 12{,}6\ \text{m/s}$ . 2) La flèche est atteinte quand $v_z = 0$ , soit $t_{sommet} = v_{z0}/g \approx 12{,}6/9{,}8 \approx 1{,}29\ \text{s}$ : $z_{max} = z_0 + \dfrac{v_{z0}^2}{2g} = 1{,}8 + \dfrac{12{,}6^2}{19{,}6} \approx 1{,}8 + 8{,}1 \approx 9{,}9\ \text{m}$ . 3) En résolvant $z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^2 + v_{z0}\,t + z_0 = 0$ , on trouve $t \approx 2{,}71\ \text{s}$ , d'où $x = v_{x0}\,t \approx 18{,}0\times 2{,}71 \approx 48{,}9\ \text{m}$ .

Exercice 4

Difficile

Un électron (masse $m_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \text{kg}$ , charge $-e$ , $e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ ) pénètre entre deux plaques parallèles, parallèlement à celles-ci, avec $v_0 = 1{,}0\times 10^{7}\ \text{m/s}$ . Les plaques ont une longueur $L = 4{,}0\ \text{cm}$ , sont séparées de $d = 2{,}0\ \text{cm}$ et soumises à $U = 150\ \text{V}$ . L'électron sort-il du condensateur ?

Voir la correction

$E = \dfrac{U}{d} = 7{,}5\times 10^{3}\ \text{V/m}$ et $a = \dfrac{eE}{m_e} \approx 1{,}32\times 10^{15}\ \text{m/s}^2$ . À $x = L$ , la déviation serait $y = \dfrac{aL^2}{2v_0^2} \approx 1{,}05\times 10^{-2}\ \text{m}$ , supérieure à $d/2 = 1{,}0\ \text{cm}$ : l'électron heurte une plaque, en $x = \sqrt{\dfrac{2v_0^2 (d/2)}{a}} \approx 3{,}9\ \text{cm}$ , juste avant la fin des plaques.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Pourquoi la trajectoire d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme est-elle une parabole ?

Parce que le mouvement horizontal est uniforme (vx constante, aucune force horizontale) alors que le mouvement vertical est uniformément varié (accélération −g constante). En éliminant le temps entre x(t) et z(t), on obtient une relation z(x) du second degré en x, donc une parabole.

Quelle est la différence entre la flèche et la portée d'un tir ?

La flèche est la hauteur maximale atteinte par le projectile, obtenue quand la composante verticale de la vitesse s'annule. La portée est la distance horizontale parcourue avant de retomber à l'altitude de départ.

Pourquoi le mouvement horizontal d'un projectile est-il uniforme ?

En l'absence de frottement, seul le poids agit, verticalement : il n'y a donc aucune composante horizontale de force, donc aucune accélération horizontale. La composante horizontale de la vitesse reste constante tout au long du mouvement.