Fonctions Logarithmiques — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Le chapitre Fonctions logarithmiques est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A, très lié aux fonctions exponentielles et au calcul intégral qui suivent. L'étude d'une fonction contenant un logarithme (domaine, dérivée, limites) revient de façon quasi systématique dans les sujets d'examen national.

Q: Pourquoi faut-il toujours vérifier le domaine avant de manipuler ln(x) ?

Parce que ln(x) n'est défini que pour x strictement positif. Avant d'appliquer une propriété algébrique ou de dériver une expression contenant un logarithme, il faut d'abord déterminer l'ensemble des x pour lesquels l'argument du logarithme est strictement positif — sinon les calculs qui suivent n'ont pas de sens.

Q: Quelle est l'erreur la plus fréquente avec les propriétés du logarithme ?

Confondre ln(ab) = ln(a) + ln(b), qui est vraie, avec ln(a+b) = ln(a) + ln(b), qui est fausse. Il n'existe pas de règle simple pour transformer le logarithme d'une somme : seule la règle du produit, du quotient et de la puissance sont valables.

Objectifs d'apprentissage

Connaître le domaine de définition de ln(x) et les valeurs particulières ln(1)=0, ln(e)=1
Utiliser les propriétés algébriques du logarithme pour transformer une expression
Dériver une fonction contenant ln(x) ou une composée ln(u)
Déterminer le domaine de définition d'une fonction contenant un logarithme
Calculer les limites de ln en 0⁺ et en +∞, et appliquer les croissances comparées
Étudier les variations d'une fonction construite à partir de ln

Formules et résultats clés

Définition et valeurs particulières

La fonction $\ln$ est définie sur $\,]0,+\infty[$ comme l'unique primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ .

$\ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1$

Propriétés algébriques

Pour tous $a, b > 0$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \qquad \ln(a^n) = n \ln(a)$

Dérivée

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \qquad$ et pour une composée, si $u > 0$ : $\qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$

Limites et croissances comparées

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . Croissances comparées : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ .

Compléments du programme

Logarithme de base $a$ et logarithme décimal

Pour

a > 0

a \ne 1

, le logarithme de base

a

est

\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}

pour

x > 0

. Il a les mêmes propriétés algébriques que

\ln

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

\log_a(x^r) = r\log_a x

, avec

\log_a(a) = 1

. Il est croissant si

a > 1

, décroissant si

0 < a < 1

. Le logarithme décimal est

\log = \log_{10}

\log(10^n) = n

; il sert pour le pH ou les décibels. Exemples :

\log_2 32 = 5

\log(0{,}001) = -3

Équations, inéquations et systèmes logarithmiques

On commence toujours par le domaine de validité, puis on utilise

\ln a = \ln b \iff a = b

\ln a < \ln b \iff a < b

(pour

a, b > 0

). Équation :

\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 3

est définie pour

x > 1

et devient

x^2 - 1 = 3

, d'où

x = 2

(

-2

est rejeté). Inéquation :

\ln(2x - 1) \le 0

exige

x > \dfrac{1}{2}

et équivaut à

2x - 1 \le 1

S = \left]\dfrac{1}{2} ; 1\right]

. Système :

x + y = 5

\ln x + \ln y = \ln 6

donnent

xy = 6

avec

x, y > 0

, d'où

S = \{(2 ; 3), (3 ; 2)\}

Erreurs fréquentes

Manipuler ln sans vérifier d'abord que l'argument est strictement positif — toute étude d'une fonction avec ln doit commencer par la détermination du domaine.

Croire que ln(a+b) = ln(a) + ln(b) : cette égalité est fausse. Seule la règle du produit ln(ab) = ln(a) + ln(b) (pour a, b > 0) est correcte.

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée ln(u) : la dérivée est u′/u, pas 1/u.

Confondre les croissances comparées : lim ln(x)/x = 0 en +∞ (le logarithme est « dominé » par x), et ne pas savoir l'appliquer à des variantes comme x·ln(x) en 0⁺.

Exemple corrigé — Domaine et dérivée

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2-1)$ , puis calculer $f'(x)$ .

Correction

Il faut $x^2 - 1 > 0$ , c'est-à-dire $x \in \,]-\infty,-1[\, \cup \,]1,+\infty[$ . C'est le domaine de définition $D_f$ .

On pose $u(x) = x^2-1$ , donc $u'(x) = 2x$ . D'après la formule de dérivation d'une composée, $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2-1}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(2) = \ln(6)$ .

Voir la correction

On regroupe : $\ln(x) + \ln(2) = \ln(2x)$ pour $x>0$ . L'équation devient $\ln(2x) = \ln(6)$ , donc $2x = 6$ , soit $x = 3$ . On vérifie que $3 > 0$ , la solution est bien dans le domaine. Donc $S = \{3\}$ .

Exercice 2

Moyen

Déterminer le domaine de définition de $g(x) = \ln(3-x)$ , puis calculer $g'(x)$ .

Voir la correction

Il faut $3 - x > 0$ , soit $x < 3$ . Le domaine est $D_g = \,]-\infty, 3[$ . Pour la dérivée, on pose $u(x) = 3-x$ , donc $u'(x) = -1$ , et $g'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{-1}{3-x}$ .

Exercice 3

Croissances comparées

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x+1}$ .

Voir la correction

On écrit $\dfrac{\ln(x)}{x+1} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{x}{x+1}$ . Or $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées) et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x+1} = 1$ . Par produit, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x+1} = 0 \times 1 = 0$ .

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Questions fréquentes

Le chapitre Fonctions logarithmiques est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A, très lié aux fonctions exponentielles et au calcul intégral qui suivent. L'étude d'une fonction contenant un logarithme (domaine, dérivée, limites) revient de façon quasi systématique dans les sujets d'examen national.

Pourquoi faut-il toujours vérifier le domaine avant de manipuler ln(x) ?

Parce que ln(x) n'est défini que pour x strictement positif. Avant d'appliquer une propriété algébrique ou de dériver une expression contenant un logarithme, il faut d'abord déterminer l'ensemble des x pour lesquels l'argument du logarithme est strictement positif — sinon les calculs qui suivent n'ont pas de sens.

Quelle est l'erreur la plus fréquente avec les propriétés du logarithme ?

Confondre ln(ab) = ln(a) + ln(b), qui est vraie, avec ln(a+b) = ln(a) + ln(b), qui est fausse. Il n'existe pas de règle simple pour transformer le logarithme d'une somme : seule la règle du produit, du quotient et de la puissance sont valables.

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Dérivée

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Pourquoi faut-il toujours vérifier le domaine avant de manipuler ln(x) ?

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Logarithme de base $a$ et logarithme décimal