L'ajustement linéaire par les moindres carrés — Cours Statistiques Bac SGC

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 3 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité (coefficient 8) et l'EOAE (coefficient 6). Le programme SGC est allégé par rapport à l'Éco, mais le cadre de référence 2025 y garde les agrégats de la comptabilité nationale et l'ajustement linéaire : un calcul de PIB ou une droite des moindres carrés rapporte des points sûrs avec peu de théorie.

À l'épreuve

Une série statistique double (années et ventes, prix et quantités, revenu et consommation) : calculer le point moyen, la variance de x, la covariance, l'équation de la droite des moindres carrés et le coefficient de corrélation, interpréter $r$, puis faire une prévision. Les calculs se présentent dans un tableau ($x_i$, $y_i$, $x_i^2$, $x_iy_i$, éventuellement $y_i^2$).

Objectifs d'apprentissage

Représenter une série statistique double par un nuage de points et placer le point moyen G
Calculer la variance de x et la covariance de (x, y)
Déterminer la droite des moindres carrés y = ax + b
Calculer et interpréter le coefficient de corrélation linéaire r
Utiliser la droite pour une prévision et en discuter la fiabilité

Notions clés

Nuage de points et point moyen

À chaque observation on associe le point

M_i(x_i ; y_i)

. Si le nuage a une forme allongée, on peut le résumer par une droite. Cette droite passe toujours par le point moyen

G(\bar{x} ; \bar{y})

, avec

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i

\bar{y} = \dfrac{1}{n}\sum y_i

Variance et covariance

V(x) = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2

mesure la dispersion de x. La covariance mesure comment x et y varient ensemble :

\text{cov}(x,y) = \dfrac{1}{n}\sum x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y}

. Positive, les deux variables évoluent dans le même sens ; négative, en sens contraire.

La droite des moindres carrés

C'est la droite

y = ax + b

qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

\sum (y_i - ax_i - b)^2

. Ses coefficients sont

a = \dfrac{\text{cov}(x,y)}{V(x)}

b = \bar{y} - a\bar{x}

— la seconde formule traduit simplement le passage par G. La pente

a

s'interprète en unités : « quand x augmente de 1, y augmente en moyenne de a ».

Le coefficient de corrélation linéaire

r = \dfrac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}

, avec

\sigma_x = \sqrt{V(x)}

\sigma_y = \sqrt{V(y)}

. On a toujours

-1 \le r \le 1

. Plus

|r|

est proche de 1, plus l'ajustement linéaire est justifié ; en pratique on le juge bon lorsque

|r| \ge 0{,}87

environ. Le signe de

r

est celui de

a

Prévoir avec prudence

Pour une valeur

x_0

, la prévision est

\hat{y} = ax_0 + b

. Elle suppose que la tendance passée se prolonge : plus on s'éloigne des données observées, moins elle est fiable. Une forte corrélation ne prouve pas non plus une causalité : elle constate une évolution commune.

Erreurs fréquentes

Inverser les formules : la pente est a = cov(x, y) / V(x), et non V(x) / cov(x, y).

Oublier de soustraire le carré de la moyenne de x, ou le produit des moyennes, dans les formules développées de la variance et de la covariance.

Calculer b avec x̄ − a·ȳ : c'est b = ȳ − a·x̄, puisque la droite passe par G.

Faire une prévision sans avoir vérifié que |r| est proche de 1.

Conclure à une relation de cause à effet à partir d'un r élevé.

Exemple corrigé

Énoncé

Ventes d'une entreprise (en millions de DH) selon le rang de l'année :

x

= 1, 2, 3, 4, 5 ;

y

= 12, 15, 17, 20, 21. Déterminer la droite des moindres carrés, le coefficient de corrélation, puis prévoir les ventes de l'année de rang 7.

Correction

Point moyen.

\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3

;

\bar{y} = \dfrac{85}{5} = 17

, donc

G(3 ; 17)

Variance de x.

\sum x_i^2 = 55

V(x) = \dfrac{55}{5} - 3^2 = 11 - 9 = 2

Covariance.

\sum x_iy_i = 12 + 30 + 51 + 80 + 105 = 278

\text{cov}(x,y) = \dfrac{278}{5} - 3\times17 = 55{,}6 - 51 = 4{,}6

Droite.

a = \dfrac{4{,}6}{2} = 2{,}3

;

b = 17 - 2{,}3\times3 = 10{,}1

. Donc

y = 2{,}3x + 10{,}1

: les ventes progressent en moyenne de 2,3 millions par an.

Corrélation.

\sum y_i^2 = 1\,499

V(y) = \dfrac{1\,499}{5} - 17^2 = 299{,}8 - 289 = 10{,}8

r = \dfrac{4{,}6}{\sqrt{2}\times\sqrt{10{,}8}} = \dfrac{4{,}6}{\sqrt{21{,}6}} \approx 0{,}99

: corrélation très forte et positive, l'ajustement est justifié.

Prévision.

\hat{y} = 2{,}3\times7 + 10{,}1 = 26{,}2

millions de DH pour l'année de rang 7.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Pour une série double, on donne

\bar{x} = 4

\bar{y} = 50

V(x) = 4

\text{cov}(x,y) = 12

. Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés et estimer y pour

x = 6

Voir la correction

a = \dfrac{12}{4} = 3

;

b = 50 - 3\times4 = 38

. Droite :

y = 3x + 38

. Pour

x = 6

\hat{y} = 18 + 38 = 56

Exercice 2

Moyen

Dépenses publicitaires

x

(milliers de DH) : 2, 4, 6, 8. Ventes

y

(milliers d'unités) : 5, 9, 10, 14. Déterminer la droite des moindres carrés et prévoir les ventes pour 10 000 DH de publicité.

Voir la correction

\bar{x} = 5

\bar{y} = 9{,}5

V(x) = \dfrac{4 + 16 + 36 + 64}{4} - 25 = 30 - 25 = 5

\sum x_iy_i = 10 + 36 + 60 + 112 = 218

\text{cov} = \dfrac{218}{4} - 5\times9{,}5 = 54{,}5 - 47{,}5 = 7

a = \dfrac{7}{5} = 1{,}4

;

b = 9{,}5 - 1{,}4\times5 = 2{,}5

. Droite :

y = 1{,}4x + 2{,}5

. Pour

x = 10

\hat{y} = 16{,}5

milliers d'unités.

Exercice 3

Difficile

Avec les données de l'exercice précédent, calculer le coefficient de corrélation linéaire et dire si la prévision est fiable. Pourquoi une prévision pour 50 000 DH de publicité serait-elle beaucoup plus discutable ?

Voir la correction

\sum y_i^2 = 25 + 81 + 100 + 196 = 402

V(y) = \dfrac{402}{4} - 9{,}5^2 = 100{,}5 - 90{,}25 = 10{,}25

r = \dfrac{7}{\sqrt{5\times10{,}25}} = \dfrac{7}{\sqrt{51{,}25}} \approx 0{,}98

: corrélation forte et positive, la prévision pour

x = 10

(proche des données) est acceptable. Pour

x = 50

, on extrapolerait très loin de l'intervalle observé [2 ; 8] : rien ne garantit que chaque dirham de publicité continue de rapporter autant (saturation du marché), la prévision n'est pas fiable.

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Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de « moindres carrés » ?

Parce que la droite retenue est celle qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs données par la droite. On élève au carré pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas.

À partir de quelle valeur de r l'ajustement est-il acceptable ?

On retient généralement |r| ≥ 0,87 (soit r² ≥ 0,75 environ) pour juger l'ajustement linéaire justifié. En dessous, la relation existe peut-être mais n'est pas assez linéaire pour une prévision sérieuse. Suis toujours la valeur seuil indiquée par l'énoncé si elle est donnée.

Faut-il utiliser les formules développées ou les écarts à la moyenne ?

Les deux donnent le même résultat. Les formules développées (moyenne des produits xy moins produit des moyennes) sont plus rapides avec un tableau ; les écarts à la moyenne évitent les grands nombres. Choisis une méthode et présente ton tableau de calcul : il rapporte des points même si une valeur finale est fausse.