Nombres complexes — Cours Maths Bac PC

Q: Quelle forme choisir pour une puissance zⁿ ?

La forme exponentielle (ou trigonométrique) : z = r·e^(iθ) donne zⁿ = rⁿ·e^(inθ) (Moivre). La forme algébrique n'est pratique que pour n = 2 ou 3.

Q: Comment résoudre az² + bz + c = 0 avec Δ < 0 ?

Mêmes formules qu'en réel, mais √Δ devient i·√(−Δ) : les solutions (−b ± i√(−Δ))/(2a) sont deux complexes conjugués.

Q: À quoi sert le quotient (c − a)/(b − a) en géométrie ?

Son module est le rapport AC/AB et son argument l'angle orienté (AB, AC). Il permet de reconnaître un triangle rectangle, isocèle, équilatéral, ou des points alignés.

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. En PC, les nombres complexes remplacent l'arithmétique et les structures algébriques des filières SM. Le programme insiste sur le passage entre formes, la formule de Moivre et la lecture géométrique (affixe, distances, angles) plutôt que sur une théorie abstraite.

À l'épreuve

Un exercice dédié : calculs sous forme algébrique, mise sous forme trigonométrique/exponentielle, résolution de az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, Δ < 0), puis une partie géométrique (nature d'un triangle, ensemble de points, rotation d'affixe).

Objectifs d'apprentissage

Passer d'une forme à l'autre : algébrique, trigonométrique, exponentielle
Calculer module, argument, conjugué, et utiliser leurs règles de calcul
Appliquer la formule de Moivre pour une puissance
Résoudre az² + bz + c = 0 à coefficients réels, y compris quand Δ < 0
Interpréter géométriquement un module (distance) et un argument (angle)

Notions clés

Formes et passage

Algébrique :

z=x+iy

. Module

|z|=\sqrt{x^2+y^2}

, argument

\theta

tel que

\cos\theta=\frac{x}{|z|}

\sin\theta=\frac{y}{|z|}

. Trigonométrique :

z=|z|\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)

. Exponentielle :

z=|z|\,e^{i\theta}

Règles de calcul

|z_1 z_2|=|z_1||z_2|

\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\ [2\pi]

;

\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}

\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2

. Moivre :

\big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}

. Conjugué :

\overline{z}=x-iy

z\overline{z}=|z|^2

Équation du second degré à coefficients réels

Pour

az^2+bz+c=0

avec

\Delta=b^2-4ac<0

: deux solutions complexes conjuguées

z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

Écriture complexe des transformations

Translation de vecteur d'affixe

b

z' = z + b

. Homothétie de centre

\Omega(\omega)

et de rapport

k

réel non nul :

z' - \omega = k(z - \omega)

. Rotation de centre

\Omega(\omega)

et d'angle

\theta

z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)

. Pour reconnaître

z' = az + b

: si

a = 1

, c'est une translation ; si

a

est réel différent de 1, une homothétie de rapport

a

; si

|a| = 1

a \ne 1

, une rotation d'angle

\arg a

; le centre vérifie

\omega = \dfrac{b}{1 - a}

. Exemple :

z' = iz + 1 - i

est la rotation d'angle

\dfrac{\pi}{2}

et de centre d'affixe

\omega = \dfrac{1 - i}{1 - i} = 1

Erreurs fréquentes

Donner un argument sans préciser [2π], ou se tromper de quadrant en oubliant les signes de x et y.

Écrire √Δ quand Δ < 0 : on utilise i·√(−Δ).

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂| (inégalité triangulaire, égalité seulement dans des cas particuliers).

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre

z=1+i\sqrt{3}

sous forme exponentielle, puis calculer

z^{6}

Correction

Module.

|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2

Argument.

\cos\theta=\dfrac{1}{2}

\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}

, donc

\theta=\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]

. Ainsi

z=2\,e^{i\pi/3}

Puissance (Moivre).

z^{6}=2^{6}\,e^{i\cdot 6\pi/3}=64\,e^{i\,2\pi}=64

Conclusion.

z^6=64

(réel).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Écrire sous forme algébrique

z=\dfrac{3+i}{1-i}

Voir la correction

On multiplie par le conjugué :

z=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+4i-1}{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i

Exercice 2

Moyen

Résoudre dans

\mathbb{C}

z^2-2z+5=0

Voir la correction

\Delta=4-20=-16<0

. Solutions :

z=\dfrac{2\pm i\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i

Exercice 3

Difficile

A

B

C

ont pour affixes

a=1

b=1+i

c=2+i

. En calculant

\dfrac{c-a}{b-a}

, déterminer la nature du triangle

ABC

Voir la correction

c-a=1+i

b-a=i

\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{1+i}{i}=(1+i)(-i)=1-i

. Or

|1-i|=\sqrt2

donne

\dfrac{AC}{AB}=\sqrt2

, et

1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}

donne l'angle en

A

égal à

\dfrac{\pi}{4}

. Avec

AB=|i|=1

BC=|c-b|=1

AC=\sqrt2

AB^2+BC^2=AC^2

. Le triangle

ABC

est rectangle isocèle en $B$ .

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Questions fréquentes

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