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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Nombres complexes — Cours Maths Bac Agro

Les trois formes d'un complexe, module et argument, la formule de Moivre, les racines n-ièmes, et l'usage géométrique : rotations, natures de triangles, lieux.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Chapitre transversal mêlant calcul algébrique, trigonométrie et géométrie du plan : presque toujours l'objet d'un exercice complet.

À l'épreuve

Un exercice en deux temps : calcul (forme exponentielle, résolution d'une équation, racines n-ièmes, Moivre), puis géométrie (nature d'un triangle à partir d'affixes, écriture complexe d'une rotation, lieu de points).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
  • Calculer module et argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Appliquer la formule de Moivre
  • Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe
  • Interpréter |z − a|, arg((z − b)/(z − a)) et l'écriture d'une rotation

Notions clés

Formes et module-argument

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, r=∣z∣=x2+y2r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}, θ=arg⁡z\theta=\arg z. ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2.

Moivre

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}, soit (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).

Racines n-ièmes

Les racines nn-ièmes de a=ρeiφa=\rho e^{i\varphi} sont zk=ρ1/nei(φn+2kπn)z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1.

Interprétation géométrique

∣z−a∣|z-a| = distance AMAM. arg⁡z−bz−a=(AM→,BM→)\arg\dfrac{z-b}{z-a}=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}). Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).

Erreurs fréquentes

1

Donner un argument sans préciser modulo 2π.

2

Oublier une racine n-ième : il y en a exactement n.

3

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂|.

4

Écrire la rotation z′ = e^(iθ) z quand le centre n'est pas l'origine.

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=1−iz=1-i sous forme exponentielle, puis calculer z8z^{8}.

Correction

∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2.
cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡θ=−12\sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}, donc θ=−π4\theta=-\dfrac{\pi}{4} : z=2 e−iπ/4z=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}.
z8=(2)8 e−i⋅8π/4=16 e−i⋅2πz^{8}=(\sqrt2)^{8}\,e^{-i\cdot 8\pi/4}=16\,e^{-i\cdot 2\pi}.
e−i⋅2π=1e^{-i\cdot 2\pi}=1, donc z8=16z^{8}=16.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire z=−1−i3z=-1-i\sqrt{3} sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
∣z∣=1+3=2|z|=\sqrt{1+3}=2. cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{2}, sin⁡θ=−32\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}, donc θ=−2π3\theta=-\dfrac{2\pi}{3}. z=2(cos⁡(−2π3)+isin⁡(−2π3))=2e−i 2π/3z=2\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2e^{-i\,2\pi/3}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z4=16z^{4}=16.
Voir la correction
16=16ei⋅016=16e^{i\cdot 0}, donc zk=161/4ei 2kπ/4=2ei kπ/2z_k=16^{1/4}e^{i\,2k\pi/4}=2e^{i\,k\pi/2}, k=0,1,2,3k=0,1,2,3 : z0=2z_0=2, z1=2iz_1=2i, z2=−2z_2=-2, z3=−2iz_3=-2i.

Exercice 3

Difficile
Soient A(1)A(1), B(3)B(3), C(2+i3)C(2+i\sqrt3). Montrer que le triangle ABCABC est équilatéral.
Voir la correction
c−ab−a=1+i32=eiπ/3\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}=e^{i\pi/3}. Donc ∣c−ab−a∣=1\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=1 (d'où AC=ABAC=AB) et arg⁡c−ab−a=π3\arg\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{\pi}{3} (d'où A^=π3\widehat{A}=\dfrac{\pi}{3}). Isocèle en AA avec un angle de π3\dfrac{\pi}{3} : le triangle est équilatéral.

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Questions fréquentes

Comment mettre un complexe sous forme exponentielle ?

On calcule r = √(x² + y²), puis θ tel que cos θ = x/r et sin θ = y/r. Alors z = r e^(iθ).

Combien de racines n-ièmes ?

Exactement n, réparties régulièrement sur un cercle centré à l'origine, de rayon la racine n-ième du module.

Comment reconnaître une figure avec des affixes ?

On calcule (c − a)/(b − a) : son module compare AC et AB, son argument donne l'angle en A. Module 1 et argument π/3 : équilatéral ; argument π/2 : rectangle isocèle en A.

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