Machine à Courant Continu — Cours et Formules (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Décrire la constitution d'une machine à courant continu : inducteur (crée le champ magnétique), induit (siège de la fem), collecteur et balais
Établir et exploiter la loi des mailles de l'induit : U = E + R·I
Établir et exploiter la relation de la force électromotrice E = k·Φ·Ω
Établir et exploiter la relation du couple électromagnétique Tem = k·Φ·I
Calculer la puissance électromagnétique Pem = E·I = Tem·Ω et vérifier la cohérence entre ses deux expressions
Calculer le rendement d'un moteur à courant continu à partir des puissances utile et absorbée
Décrire le principe de réversibilité de la machine à courant continu (fonctionnement moteur ou génératrice selon le sens de transfert d'énergie)

Formules et résultats clés

Constitution

Une machine à courant continu comporte un inducteur (au stator, crée le champ magnétique — aimants ou bobinage alimenté), un induit (au rotor, siège de la force électromotrice), et un ensemble collecteur-balaisqui assure le contact électrique glissant avec l'induit en rotation.

Loi des mailles de l'induit

U = E + R\,I

Avec U la tension aux bornes de l'induit, E la force électromotrice, R la résistance de l'induit et I le courant d'induit.

Force électromotrice et couple électromagnétique

E = k\Phi\,\Omega \qquad T_{em} = k\Phi\,I

Avec Φ le flux inducteur, Ω la vitesse angulaire et k la constante propre à la machine. Ces deux relations partagent la même constante $k\\Phi$, conséquence directe de la conservation de l'énergie électromagnétique.

Puissance électromagnétique

P_{em} = E\,I = T_{em}\,\Omega

La puissance utile disponible sur l'arbre est ensuite inférieure à $P_{em}$ à cause des pertes mécaniques (frottements, ventilation) : $P_u = P_{em} - p_{mécaniques}$ , et le rendement du moteur s'écrit $\eta = P_u/P_a$ avec $P_a = U\,I$ la puissance électrique absorbée.

Erreurs fréquentes

Confondre la tension d'alimentation U (aux bornes de l'induit) et la force contre-électromotrice E (induite par la rotation) — elles ne sont égales que si la chute de tension R·I est négligeable, ce qui n'est jamais rigoureusement exact.

Croire que la vitesse de rotation Ω est directement proportionnelle à U seul — en réalité elle est proportionnelle à E = U − R·I, donc dépend aussi du courant absorbé.

Confondre le couple électromagnétique Tem = k·Φ·I (couple interne développé) et le couple utile Tu disponible sur l'arbre, plus faible à cause des pertes mécaniques (frottements, ventilation).

Croire que le courant absorbé par un moteur à courant continu est indépendant de la charge mécanique — en réalité, plus le couple résistant augmente, plus le courant appelé augmente, à flux constant.

Oublier que la même constante k intervient dans la fem (E=kΦΩ) et dans le couple (Tem=kΦI) : ce lien découle directement de la conservation de l'énergie (Pem=EI=TemΩ), pas d'une coïncidence de notation.

Exemple corrigé — Rendement d'un moteur à courant continu

Énoncé

Un moteur à courant continu est alimenté sous $U = 200\ \text{V}$ et absorbe $I = 10\ \text{A}$ . Sa résistance d'induit est $R = 0{,}5\ \Omega$ et ses pertes mécaniques (frottements, ventilation) valent $p_{méca} = 50\ \text{W}$ . 1) Calculer $P_a$ . 2) Calculer $E$ puis $P_{em}$ . 3) Calculer $P_u$ et le rendement η.

Correction

1) $P_a = U I = 200 \times 10 = 2000\ \text{W}$ .

2) $E = U - RI = 200 - 0{,}5\times 10 = 195\ \text{V}$ , donc $P_{em} = EI = 195\times 10 = 1950\ \text{W}$ .

3) $P_u = P_{em} - p_{méca} = 1950 - 50 = 1900\ \text{W}$ , donc $\eta = \dfrac{P_u}{P_a} = \dfrac{1900}{2000} = 0{,}95$ , soit un rendement de $95\%$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un moteur à courant continu est alimenté sous $U = 220\ \text{V}$ , sa résistance d'induit vaut $R = 1\ \Omega$ , et il absorbe un courant $I = 12\ \text{A}$ . Calculer sa force électromotrice E.

Voir la correction

$U = E + RI \Rightarrow E = U - RI = 220 - 1\times 12 = 208\ \text{V}$ .

Exercice 2

Moyen

Un moteur a une constante $k\Phi = 2{,}5\ \text{V}\cdot\text{s/rad}$ (produit de la constante de la machine et du flux inducteur, supposé constant) et une force électromotrice $E = 200\ \text{V}$ . Calculer sa vitesse angulaire Ω en rad/s, puis sa fréquence de rotation en tr/min.

Voir la correction

$E = k\Phi\,\Omega \Rightarrow \Omega = \dfrac{E}{k\Phi} = \dfrac{200}{2{,}5} = 80\ \text{rad/s}$ . En tr/min : $N = \dfrac{60\,\Omega}{2\pi} = \dfrac{60\times 80}{2\pi} \approx 764\ \text{tr/min}$ .

Exercice 3

Difficile

Le même moteur ( $k\Phi = 2{,}5\ \text{V}\cdot\text{s/rad}$ , $R = 1\ \Omega$ ) est alimenté sous $U = 210\ \text{V}$ et absorbe $I = 8\ \text{A}$ . 1) Calculer E, puis Ω. 2) Calculer le couple électromagnétique Tem. 3) Calculer la puissance électromagnétique Pem par les deux expressions et vérifier leur cohérence.

Voir la correction

$E = U - RI = 210 - 8 = 202\ \text{V}$ , donc $\Omega = E/(k\Phi) = 202/2{,}5 = 80{,}8\ \text{rad/s}$ . $T_{em} = k\Phi\, I = 2{,}5 \times 8 = 20\ \text{N·m}$ . Côté électrique : $P_{em} = E I = 202 \times 8 = 1616\ \text{W}$ . Côté mécanique : $P_{em} = T_{em}\,\Omega = 20 \times 80{,}8 = 1616\ \text{W}$ — les deux expressions coïncident bien, ce qui confirme la conservation de l'énergie électromagnétique.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la tension U et la force électromotrice E d'un moteur à courant continu ?

La tension U est appliquée aux bornes de l'induit par l'alimentation. La force électromotrice (fem) E est induite par la rotation de l'induit dans le champ magnétique de l'inducteur, et s'oppose à la tension appliquée (d'où son nom de force contre-électromotrice en fonctionnement moteur). La loi des mailles U = E + R·I relie les deux : elles ne sont égales que si la chute de tension R·I dans la résistance de l'induit est négligeable, ce qui n'est jamais rigoureusement le cas.

Pourquoi la vitesse d'un moteur à courant continu diminue-t-elle quand la charge augmente ?

Quand la charge mécanique (couple résistant) augmente, le moteur doit fournir un couple électromagnétique plus élevé, ce qui — à flux constant — nécessite un courant d'induit I plus élevé (Tem = k·Φ·I). Or ce courant plus élevé provoque une chute de tension R·I plus importante dans la résistance de l'induit, donc, la tension U restant fixée par l'alimentation, la force électromotrice E = U − R·I diminue légèrement. Comme E = k·Φ·Ω, une diminution de E à flux constant se traduit directement par une légère diminution de la vitesse de rotation Ω.

Pourquoi la même constante k apparaît-elle dans les formules de la fem et du couple ?

Ce n'est pas une coïncidence : elle traduit la conservation de l'énergie à l'intérieur de la machine. La puissance électromagnétique convertie s'écrit à la fois Pem = E·I (côté électrique) et Pem = Tem·Ω (côté mécanique). Comme E = k·Φ·Ω, on a Pem = k·Φ·Ω·I, ce qui, comparé à Pem = Tem·Ω, impose nécessairement Tem = k·Φ·I avec exactement la même constante k dans les deux relations.