Noyaux, Masse et Énergie — Cours, Formules, Exercices (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Calculer le défaut de masse Δm d'un noyau à partir des masses de ses nucléons et de sa masse réelle
Calculer l'énergie de liaison El = Δm·c² d'un noyau
Convertir une énergie entre joules et mégaélectronvolts (MeV)
Calculer et interpréter l'énergie de liaison par nucléon El/A comme critère de stabilité
Interpréter qualitativement la courbe d'Aston et situer les noyaux les plus stables
Relier la fission nucléaire à la production d'électricité dans une centrale nucléaire

Formules et résultats clés

Défaut de masse

Un noyau est maintenu cohérent par l'interaction forte, qui compense la répulsion électrostatique entre protons. La masse d'un noyau assemblé est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément : cette différence est le défaut de masse.

$\Delta m = Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m(\text{noyau})$ — toujours $\Delta m > 0$

Énergie de liaison

$E_l = \Delta m \times c^2$

C'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour séparer complètement le noyau en ses nucléons libres — ou, symétriquement, l'énergie libérée lors de son assemblage. On l'exprime généralement en mégaélectronvolts (1 MeV = 1,602 × 10⁻¹³ J), après avoir converti Δm en kilogrammes (1 u = 1,6605 × 10⁻²⁷ kg).

Énergie de liaison par nucléon : le critère de stabilité

$\dfrac{E_l}{A}$ — plus ce rapport est grand, plus le noyau est stable

Contrairement à El (qui croît avec la taille du noyau), El/A permet de comparer la stabilité de noyaux différents. Elle est maximale (≈ 8,8 MeV/nucléon) pour les noyaux de masse intermédiaire comme le fer ou le nickel (A ≈ 56-62).

Courbe d'Aston

La courbe d'Aston représente l'opposé de El/A en fonction de A. Les noyaux les plus stables se trouvent au creux de la courbe, autour de A ≈ 60. La fusion de noyaux légers (à gauche) et la fissionde noyaux lourds (à droite) rapprochent toutes deux les noyaux formés de ce creux — c'est pourquoi ces deux réactions libèrent de l'énergie.

Application : la fission dans une centrale nucléaire

Une centrale nucléaire exploite la fission de noyaux d'uranium 235, bien plus lourds que le fer : l'énergie libérée, calculée avec $E = |\Delta m|\,c^2$ , chauffe un fluide dont la vapeur entraîne une turbine puis un alternateur — la même conversion mécanique-électrique étudiée pour les machines électriques du programme STE, mais alimentée par une source d'énergie nucléaire plutôt que par un moteur thermique classique.

Erreurs fréquentes

Intervertir Z (numéro atomique, nombre de protons) et A (nombre de masse, nombre total de nucléons) dans le calcul du défaut de masse.

Oublier que Δm est une différence de masse entre nucléons séparés et noyau assemblé — ce n'est pas la masse du noyau lui-même, et il est toujours positif.

Confondre énergie de liaison totale El et énergie de liaison par nucléon El/A — c'est El/A, pas El, qui sert à comparer la stabilité de deux noyaux différents.

Oublier de convertir Δm de l'unité de masse atomique (u) en kilogrammes avant d'utiliser E = Δm·c² — le résultat en joules est faux si Δm reste en u.

Croire que plus un noyau est gros (A grand), plus il est stable — la stabilité dépend de El/A, maximale autour de A ≈ 60, pas de la taille du noyau.

Exemple corrigé — Défaut de masse et énergie de liaison du deutérium

Énoncé

Le noyau de deutérium ( $^{2}_{1}\text{H}$ ) a une masse $m = 2{,}01355\ \text{u}$ . On donne $m_p = 1{,}00728\ \text{u}$ , $m_n = 1{,}00867\ \text{u}$ , $1\ \text{u} = 1{,}6605\times 10^{-27}\ \text{kg}$ , $c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m/s}$ et $1\ \text{MeV} = 1{,}602\times 10^{-13}\ \text{J}$ . Calculer le défaut de masse, l'énergie de liaison en MeV, puis l'énergie de liaison par nucléon.

Correction

$\Delta m = m_p + m_n - m = 1{,}00728 + 1{,}00867 - 2{,}01355 = 0{,}00240\ \text{u}$ .

En kilogrammes : $\Delta m = 0{,}00240 \times 1{,}6605\times 10^{-27} \approx 3{,}99\times 10^{-30}\ \text{kg}$ .

$E_l = \Delta m\,c^2 \approx 3{,}99\times 10^{-30} \times 9{,}00\times 10^{16} \approx 3{,}59\times 10^{-13}\ \text{J}$ , soit $E_l \approx \dfrac{3{,}59\times 10^{-13}}{1{,}602\times 10^{-13}} \approx 2{,}24\ \text{MeV}$ .

L'énergie de liaison par nucléon vaut $\dfrac{E_l}{A} = \dfrac{2{,}24}{2} \approx 1{,}1\ \text{MeV/nucléon}$ — une valeur faible qui explique pourquoi le deutérium est un noyau peu stable, propice à la fusion.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Donner l'expression littérale du défaut de masse Δm d'un noyau $^{A}_{Z}\text{X}$ en fonction de $Z$ , $A$ , de la masse d'un proton $m_p$ , d'un neutron $m_n$ et de la masse du noyau $m(X)$ .

Voir la correction

$\Delta m = Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m(X)$ .

Exercice 2

Moyen

Le tritium $^{3}_{1}\text{H}$ a une masse nucléaire $m = 3{,}01605\ \text{u}$ . Sachant que $m_p = 1{,}00728\ \text{u}$ et $m_n = 1{,}00867\ \text{u}$ , calculer le défaut de masse puis l'énergie de liaison en MeV ( $1\ \text{u} = 1{,}6605\times 10^{-27}\ \text{kg}$ , $c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m/s}$ , $1\ \text{MeV} = 1{,}602\times 10^{-13}\ \text{J}$ ).

Voir la correction

$\Delta m = 1{,}00728 + 2\times 1{,}00867 - 3{,}01605 = 0{,}00857\ \text{u}$ , soit $0{,}00857 \times 1{,}6605\times 10^{-27} \approx 1{,}42\times 10^{-29}\ \text{kg}$ . $E_l = \Delta m\, c^2 \approx 1{,}42\times 10^{-29} \times 9{,}00\times 10^{16} \approx 1{,}28\times 10^{-12}\ \text{J} \approx 8{,}0\ \text{MeV}$ .

Exercice 3

Difficile

Le noyau de nickel 62 ( $^{62}_{28}\text{Ni}$ ) a une énergie de liaison $E_l = 545\ \text{MeV}$ . Calculer son énergie de liaison par nucléon, puis comparer sa stabilité à celle de l'uranium 235, pour lequel $E_l/A = 7{,}59\ \text{MeV/nucléon}$ .

Voir la correction

$\dfrac{E_l}{A} = \dfrac{545}{62} \approx 8{,}79\ \text{MeV/nucléon}$ . Comme $8{,}79 > 7{,}59$ , le nickel 62 est plus stable que l'uranium 235 — cohérent avec sa position au creux de la courbe d'Aston (A ≈ 60).

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le défaut de masse d'un noyau ?

C'est la différence entre la masse des nucléons pris séparément (Z protons + (A−Z) neutrons libres) et la masse réelle du noyau assemblé : Δm = Z·mp + (A−Z)·mn − m(noyau). Δm est toujours positif : le noyau est plus léger que la somme de ses constituants séparés, la différence ayant été « convertie » en énergie de liaison lors de la formation du noyau.

Quel est le lien entre ce chapitre et une centrale nucléaire de production d'électricité ?

Une centrale nucléaire exploite l'énergie libérée par la fission de noyaux lourds (uranium 235) : cette énergie, calculée via E = Δm·c², chauffe de l'eau sous pression dont la vapeur entraîne un alternateur — le même principe de conversion électromécanique étudié dans les chapitres de machines électriques du programme STE, mais avec une source de chaleur nucléaire plutôt que thermique classique.

Que montre la courbe d'Aston ?

La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse A. Les noyaux les plus stables se situent au creux de la courbe, autour de A ≈ 60 (fer, nickel). La fusion de noyaux légers et la fission de noyaux lourds rapprochent tous deux les noyaux formés de ce creux, ce qui explique pourquoi ces deux réactions libèrent de l'énergie.