Transformation de Mouvement : Engrenages, Courroies, Vis-Écrou — Cours (Bac SMB)

Objectifs d'apprentissage

Exploiter le rapport de transmission d'un engrenage : r = Z1/Z2 = N2/N1 (Z nombre de dents, N vitesse de rotation)
Distinguer un engrenage réducteur (r < 1) d'un engrenage multiplicateur (r > 1)
Exploiter le rapport de transmission d'une transmission par poulies-courroie : r = D1/D2 = N2/N1
Distinguer une transmission par courroie plate/trapézoïdale (adhérence, glissement possible) et par courroie crantée (denture, sans glissement)
Décrire le principe d'un système vis-écrou : transformation d'un mouvement de rotation en un mouvement de translation
Exploiter la relation entre le pas de la vis et la translation obtenue par tour
Justifier, selon l'angle d'hélice, la réversibilité ou l'irréversibilité d'un système vis-écrou

Formules et résultats clés

Les engrenages

r = \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{N_2}{N_1}

Deux roues dentées de même module engrènent avec un rapport de transmission r égal au rapport de leur nombre de dents ( $Z_1$ menante, $Z_2$ menée), qui est aussi le rapport inverse de leurs vitesses de rotation ( $N_1$ menante, $N_2$ menée). Si r < 1, l'engrenage est réducteur (la vitesse diminue, le couple augmente) ; si r > 1, il est multiplicateur.

Transmission par poulies-courroie

r = \dfrac{D_1}{D_2} = \dfrac{N_2}{N_1}

La même logique s'applique à une transmission par poulies-courroie, en remplaçant le nombre de dents par le diamètre des poulies. Une courroie plate ou trapézoïdale (adhérence) peut glisser sous forte charge ; une courroie crantée (denture engrenant avec les poulies) transmet le mouvement sans glissement, comme un engrenage.

Le système vis-écrou

Un système vis-écrou transforme un mouvement de rotation (de la vis, ou de l'écrou selon le montage) en un mouvement de translation. Pour chaque tour complet de la vis, l'écrou avance d'une distance égale au pas p du filetage. Selon l'angle d'hélice du filetage par rapport à l'angle de frottement vis/écrou, le système peut être réversible (un effort axial sur l'écrou peut entraîner la vis en rotation) ou irréversible (seule la rotation de la vis produit la translation — propriété utile pour un système de levage qui doit rester en position sans freinage additionnel).

Erreurs fréquentes

Inverser le sens du rapport de transmission : r = Z1/Z2 = N2/N1 — le rapport des nombres de dents est l'inverse du rapport des vitesses de rotation, ne pas confondre l'ordre des indices.

Croire qu'une transmission par courroie (non crantée) transmet exactement le rapport théorique D1/D2 dans toutes les conditions : un glissement peut apparaître en cas de sous-tension ou de surcharge, contrairement à un engrenage ou une courroie crantée.

Confondre le pas d'une vis (avance par tour) avec son diamètre : c'est le pas p qui détermine directement la translation obtenue pour un tour complet de la vis.

Croire qu'un système vis-écrou est toujours réversible : l'irréversibilité dépend de l'angle d'hélice du filetage par rapport à l'angle de frottement — un filetage à petit pas (angle d'hélice faible) est souvent irréversible, un filetage à grand pas peut être réversible.

Oublier qu'un train d'engrenages à plusieurs étages a un rapport global égal au produit des rapports de chaque étage, pas leur somme.

Exemple corrigé — Train d'engrenages à deux étages

Énoncé

Un réducteur à deux étages est composé d'un premier engrenage de rapport $r_1 = Z_1/Z_2 = 24/48 = 0{,}5$ et d'un second engrenage de rapport $r_2 = Z_3/Z_4 = 18/54 = 1/3$ . L'arbre d'entrée tourne à $N_e = 1440\ \text{tr/min}$ . 1) Calculer le rapport global du réducteur. 2) Calculer la vitesse de l'arbre de sortie.

Correction

1) $r_{global} = r_1 \times r_2 = 0{,}5 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

2) $N_s = r_{global} \times N_e = \dfrac{1440}{6} = 240\ \text{tr/min}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un engrenage est composé d'une roue menante de $Z_1 = 20$ dents et d'une roue menée de $Z_2 = 60$ dents. La roue menante tourne à $N_1 = 900\ \text{tr/min}$ . Calculer le rapport de transmission r et la vitesse $N_2$ de la roue menée.

Voir la correction

$r = \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ (réducteur). $N_2 = r \times N_1 = \dfrac{1}{3}\times 900 = 300\ \text{tr/min}$ .

Exercice 2

Moyen

Une transmission par poulies-courroie relie une poulie motrice de diamètre $D_1 = 80\ \text{mm}$ tournant à $N_1 = 1450\ \text{tr/min}$ à une poulie réceptrice de diamètre $D_2 = 200\ \text{mm}$ . Calculer la vitesse de rotation $N_2$ de la poulie réceptrice.

Voir la correction

$r = \dfrac{D_1}{D_2} = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$ . $N_2 = r\times N_1 = 0{,}4 \times 1450 = 580\ \text{tr/min}$ .

Exercice 3

Difficile

Une vis de manœuvre a un pas $p = 2\ \text{mm}$ . Elle est entraînée par un moteur tournant à $N = 300\ \text{tr/min}$ . Calculer la vitesse de translation (en mm/s) de l'écrou.

Voir la correction

Avance par tour = pas $p = 2\ \text{mm}$ . Nombre de tours par seconde $= \dfrac{300}{60} = 5\ \text{tr/s}$ . Vitesse de translation $v = p \times \dfrac{N}{60} = 2\times 5 = 10\ \text{mm/s}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Pourquoi le rapport de transmission d'un engrenage dépend-il du nombre de dents et non du diamètre des roues ?

Pour que deux roues dentées engrènent correctement, elles doivent avoir le même module (pas de denture) : le diamètre primitif d'une roue est alors directement proportionnel à son nombre de dents Z. Utiliser Z1/Z2 ou D1/D2 donne donc rigoureusement le même résultat — mais Z est un nombre entier, plus simple et plus précis à utiliser dans les calculs et à lire directement sur un plan.

Une transmission par courroie peut-elle glisser, contrairement à un engrenage ?

Oui : une transmission par poulies et courroie plate ou trapézoïdale repose sur l'adhérence (frottement) entre la courroie et les poulies, qui peut glisser en cas de couple trop important ou de tension insuffisante — le rapport de vitesse réel peut alors s'écarter légèrement du rapport théorique D1/D2. Une courroie crantée (synchrone), avec des dents engagées dans les poulies, élimine ce glissement, comme un engrenage.

Pourquoi un système vis-écrou peut-il être irréversible ?

Quand l'angle d'hélice du filetage est suffisamment faible par rapport à l'angle de frottement entre la vis et l'écrou, le frottement empêche l'écrou d'entraîner la vis en rotation même sous l'effet d'un effort axial important sur l'écrou. Le système est alors dit irréversible : on ne peut le faire avancer qu'en entraînant la vis en rotation, jamais en poussant sur l'écrou — propriété recherchée pour un vérin de levage qui doit rester en position sans moteur (vis de serre-joint, cric).