Statique du Solide — Torseurs et PFS, Cours (Bac SMB)

Objectifs d'apprentissage

Définir le torseur d'une action mécanique : résultante et moment résultant en un point
Calculer le moment d'une force en un point à partir de la relation vectorielle du produit vectoriel
Changer le point de réduction d'un torseur à l'aide de la relation de transport des moments
Énoncer et appliquer le principe fondamental de la statique (PFS) à un solide isolé en équilibre
Résoudre un problème de statique plane à l'aide des 3 équations scalaires (2 de résultante, 1 de moment)
Identifier et exploiter les cas particuliers : solide soumis à 2 forces, solide soumis à 3 forces (concourantes ou parallèles)

Formules et résultats clés

Torseur d'action mécanique

\{T_{ext \to S}\}_A = \left\{ \begin{array}{l} \vec{R}(ext \to S) \\ \vec{M}_A(ext \to S) \end{array} \right\}

Le torseur regroupe en un point A la résultante $\vec{R}$ (force totale, en N) et le moment résultant $\vec{M}_A$ (en N.m) de l'action mécanique. Le moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en B, calculé au point A, se calcule par le produit vectoriel : $\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AB} \wedge \vec{F}$ .

Relation de transport du moment

\vec{M}_B(\vec{F}) = \vec{M}_A(\vec{F}) + \vec{BA} \wedge \vec{R}

Principe fondamental de la statique (PFS)

Pour un solide S en équilibre, isolé, la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures est nulle : $\sum \vec{R}_{ext \to S} = \vec{0}$ et $\sum \vec{M}_A(ext \to S) = \vec{0}$ en tout point A. En statique plane, cela donne 3 équations scalaires indépendantes (2 de résultante dans le plan, 1 de moment).

Cas particuliers utiles

Solide soumis à 2 forces : les deux forces ont même droite d'action, sens opposés, normes égales. Solide soumis à 3 forces : les trois forces sont soit parallèles, soit concourantes en un même point (théorème des 3 forces), ce qui permet une résolution graphique ou analytique rapide.

Erreurs fréquentes

Oublier de bien isoler le solide étudié (frontière d'isolement précise) avant d'appliquer le PFS : toute action mécanique extérieure au solide isolé doit être prise en compte, aucune action interne ne doit l'être.

Calculer un moment de force sans préciser le point de réduction : un moment n'a de sens que rapporté à un point donné, et sa valeur change généralement d'un point à un autre (sauf le long de la ligne d'action de la force).

Oublier la relation de transport du moment lors d'un changement de point de réduction, ce qui fausse tout le bilan des actions mécaniques.

Appliquer le théorème des 2 forces à un solide qui subit en réalité 3 actions ou plus : bien compter le nombre d'actions mécaniques extérieures avant de choisir la méthode de résolution.

Négliger le poids propre du solide isolé lorsque la question ne le précise pas explicitement comme négligeable — dans de nombreux problèmes de Sciences de l'Ingénieur, le poids doit être pris en compte sauf mention contraire.

Exemple corrigé — Équilibre d'une poutre

Énoncé

Une poutre horizontale, en équilibre, repose sur deux appuis simples en A et en C, et supporte une charge verticale $\vec{F}$ de norme $F = 600\ \text{N}$ appliquée en un point B situé entre A et C, avec $AB = 1\ \text{m}$ et $BC = 2\ \text{m}$ . Déterminer la réaction verticale en A.

Correction

On isole la poutre. Elle subit 3 actions verticales : la réaction en A ( $R_A$ ), la réaction en C ( $R_C$ ) et la charge $\vec{F}$ en B (vers le bas).

On applique le PFS avec l'équation de moment au point C (pour éliminer $R_C$ , dont le moment en C est nul) : $R_A \times AC - F \times BC = 0$ , avec $AC = AB + BC = 3\ \text{m}$ .

D'où $R_A = \dfrac{F \times BC}{AC} = \dfrac{600 \times 2}{3} = 400\ \text{N}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Énoncer le principe fondamental de la statique (PFS) pour un solide en équilibre soumis à un ensemble d'actions mécaniques extérieures.

Voir la correction

Si un solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen, alors la somme des torseurs de toutes les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui est égale au torseur nul : la résultante des forces extérieures est nulle, et le moment résultant en tout point est nul.

Exercice 2

Moyen

Une bielle rectiligne, de masse négligeable, est articulée à ses deux extrémités A et B et ne subit aucune autre action que celles exercées en A et en B. Que peut-on dire des directions des actions mécaniques en A et en B ?

Voir la correction

D'après le théorème des solides soumis à 2 forces, les deux actions mécaniques en A et en B doivent avoir la même droite d'action, à savoir la droite (AB) — c'est-à-dire l'axe de la bielle elle-même —, des sens opposés et des normes égales. Une bielle soumise uniquement à 2 forces est donc nécessairement sollicitée selon son axe (traction ou compression pure).

Exercice 3

Difficile

Une force $\vec{F}$ de norme $F = 200\ \text{N}$ est appliquée en un point B, perpendiculairement à un bras de levier de longueur $OB = 0{,}4\ \text{m}$ . Calculer la norme du moment de cette force par rapport au point O.

Voir la correction

Le moment d'une force perpendiculaire à son bras de levier a pour norme le produit de la norme de la force par la distance : $\|\vec{M}_O(\vec{F})\| = F \times OB = 200 \times 0{,}4 = 80\ \text{N.m}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un torseur d'action mécanique ?

Un torseur d'action mécanique est un outil mathématique qui regroupe, en un point donné, les deux grandeurs qui caractérisent complètement une action mécanique sur un solide : la résultante (une force, en newtons) et le moment résultant en ce point (en newton-mètres). Il permet de traiter de façon unifiée les forces, les couples et leurs effets combinés sur un solide.

Que dit le principe fondamental de la statique (PFS) ?

Le PFS énonce que si un solide est en équilibre (immobile) par rapport à un référentiel galiléen, alors la somme des torseurs de toutes les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui est égale au torseur nul : la résultante des forces est nulle et le moment résultant, calculé en tout point, est nul. Cela fournit, dans le cas général, jusqu'à 6 équations scalaires (3 de résultante, 3 de moment).

Quelle est la particularité d'un solide soumis à seulement 2 forces ?

Un solide en équilibre soumis à seulement 2 forces (aux points A et B) ne peut être en équilibre que si ces deux forces sont directement opposées : même droite d'action (la droite AB), sens contraires, et normes égales. C'est le théorème des solides soumis à 2 forces, très utile pour identifier rapidement la direction d'une action inconnue (bielles, tirants).